Hay numerosos casos de distintos análisis de estructuras algebraicas que corresponden al álgebra de Boole, aunque en apariencia son muy diferentes, su estructura es la misma. Vamos a ver algunos de ellos, con el propósito de hacer palpable las similitudes en la estructura y los distintos ámbitos de aplicación y distinta terminología para referirse a las operaciones o a las variables.

Lógica binaria

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Una serie de temas, aparentemente tan distintos, tiene dos cosas en común, la lógica binaria basada en los ceros y los unos y el álgebra de Boole, posiblemente la forma más conocida de esta álgebra, que en ocasiones da lugar a la interpretación que el álgebra de Boole es la lógica binaria exclusivamente, así el conjunto ${\mathfrak {B}}$ en este caso está formado por dos elementos {0,1}, o {F, V}, o {no, sí}, dos valores contrapuestos, que son las dos posibles alternativas entre dos situaciones posibles, aquí, sin pérdida de la generalidad, tomaremos el conjunto: {0,1} como ya hemos dicho:

{\mathfrak {B}}=\{0,1\}

Donde:

\varnothing =0

U=1\;

La operación unaria interna, que llamaremos negación:

{\begin{array}{c|c}a&{\bar {a}}\\\hline 0&1\\1&0\end{array}}

{\begin{array}{rrcl}{\bar {}}:&{\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&a&\to &b={\bar {a}}\end{array}}

La operación unaria interna negación, definimos una aplicación que a cada elemento a de {0,1}, le asigna un b de {0,1}.

\forall a\in {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !b\in {\mathfrak {B}}\;/\quad b={\bar {a}}

Para todo elemento a en {0,1}, se cumple que existe un único b en {0,1}, tal que b es la negación de a. Como se ve en la tabla.

La operación binaria interna, que llamaremos suma, circuito de interruptores en paralelo:

{\begin{array}{cc|c}a&b&a+b\\\hline 1&1&1\\1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\\\end{array}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{c|cc}0&1&0\\1&1&1\\\hline +&1&0\\\end{array}}

{\begin{array}{rrcl}+:&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a+b\end{array}}

Con la operación suma definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

\forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a+b

Para todo par ordenado (a,b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.

la operación binaria interna, que llamaremos producto, circuito de interruptores en serie:

{\begin{array}{cc|c}a&b&a\cdot b\\\hline 1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{array}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1&0\\\hline \cdot &1&0\\\end{array}}

{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\cdot

Con la operación producto definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

\forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\cdot b

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b. Como se puede ver en la tabla.

Axiomas

Así $(\{0,1\},{\bar {}},+,\cdot )$ es un álgebra de Boole al cumplir los siguientes axiomas:

1a: La ley asociativa de la suma:

\forall a,b,c\in \{0,1\}:\;(a+b)+c=a+(b+c)

1b: La ley asociativa del producto:

\forall a,b,c\in \{0,1\}:\;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)

2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

\forall a\in \{0,1\}:\;a+0=a

2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

\forall a\in \{0,1\}:\;a\cdot 1=a

3a: La ley conmutativa de la suma:

\forall a,b\in \{0,1\}:\;a+b=b+a

3b: La ley conmutativa del producto:

\forall a,b\in \{0,1\}:\;a\cdot b=b\cdot a

4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

\forall a,b,c\in \{0,1\}:\;a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)

4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

\forall a,b,c\in \{0,1\}:\;a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)

5a: Existe elemento complementario para la suma:

\forall a\in \{0,1\};\;\exists {\bar {a}}\in \{0,1\}:\;a+{\bar {a}}=1

5b: Existe elemento complementario para el producto:

\forall a\in \{0,1\};\;\exists {\bar {a}}\in \{0,1\}:\;a\cdot {\bar {a}}=0

Luego $(\{0,1\},{\bar {}},+,\cdot )$ es álgebra de Boole.

Teoremas fundamentales

Partiendo de estos axiomas se puede demostrar los siguientes teoremas:

6a: Ley de idempotencia para la suma:

\forall a\in \{0,1\}:\;a+a=a

6b: Ley de idempotencia para el producto:

\forall a\in \{0,1\}:\;a\cdot a=a

7a: Ley de dominación para la suma:

\forall a\in \{0,1\}:\;a+1=1

7b: Ley de dominación para el producto:

\forall a\in \{0,1\}:\;a\cdot 0=0

8a: Ley de identidad para la suma:

\forall a\in \{0,1\}:\;a+0=a

8b: Ley de identidad para el producto:

\forall a\in \{0,1\}:\;a\cdot 1=a

9a: Ley de absorción para la suma

\forall a,b\in \{0,1\}:\;a+(a\cdot b)=a

9b: Ley de absorción para el producto

\forall a,b\in \{0,1\}:\;a\cdot (a+b)=a

10a: Ley de De Morgan para la suma:

\forall a,b\in \{0,1\}:\;a+b={\overline {{\bar {a}}\cdot {\bar {b}}}}

10a: Ley de De Morgan para el producto:

\forall a,b\in \{0,1\}:\;a\cdot b={\overline {{\bar {a}}+{\bar {b}}}}

11: Ley de involución:

\forall a\in \{0,1\}:\;{\bar {\bar {a}}}=a

12: Ley del complemento:

{\bar {1}}=0

{\bar {0}}=1

Orden en el álgebra de Boole

Partiendo de $(\{0,1\},{\bar {}},+,\cdot )$ álgebra de Boole, dadas dos variables binarias: a, b, que cumplen alguna de estas condiciones:

\left.{\begin{array}{l}a+b=b\\a\cdot b=a\\{\bar {a}}+b=1\\a\cdot {\bar {b}}=0\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad a\leq b

entonces a es menor o igual que b. Dados los valores binarios 0 y 1, podemos ver:

$0+1=1$
$0\cdot 1=0$
${\bar {0}}+1=1$
$0\cdot {\bar {1}}=0$

Estas cuatro condiciones son equivalentes y el cumplimiento de una de ellas supone el cumplimiento de las otras, en este caso es sencillo comprobarlas todas. Luego podemos decir que 0 antecede a 1 y lo denotamos:

0\leq 1

Si además sabemos que 0 y 1 son valores distintos:

\left.{\begin{array}{l}0\leq 1\\0\neq 1\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad 0<1

El valor binario 0 es menor que el valor binario 1.

Álgebra de conjuntos

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Artículo principal: Conjunto potencia

Artículo principal: Diagrama de Venn

Artículo principal: Cardinalidad

Dado cualquier conjunto U, se llama conjunto potencia de U, al conjunto de todos los subconjuntos posibles de U y lo denotamos ${\mathcal {P}}(U)$ .

A título de ejemplo podemos considerar:

U=\{a,b,c,d,e,f\}\,

Que tiene como conjunto potencia:

{\mathcal {P}}(U)={\Big \{}\{\},\{a\},\{b\},\dots ,\{a,b\},\{a,c\},\dots ,\{a,b,c,d,e\},\dots ,U{\Big \}}

El conjunto vacio es el que no tiene elementos y se representa:

\{\}\quad \equiv \quad \emptyset \quad \equiv \quad \varnothing

Podemos definir:

{\mathfrak {B}}={\mathcal {P}}(U)

Y como es obvio:

\varnothing =\varnothing

U=U\;

Cardinalidad de un conjunto.

Dado un conjunto $U$ , su cardinalidad el número de elementos que tiene, que notaremos como: ${\mathcal {C}}(U)$ .

Siendo $n\,$ la cardinalidad de un conjunto $U\,$ :

n={\mathcal {C}}(U)

y siendo el conjunto de todos los posibles subconjuntos de $U\,$ , el conjunto potencia de $U\,$ : ${\mathcal {P}}(U)$ , la cardinalidad del conjunto potencia será:

{\mathcal {C}}({\mathcal {P}}(U))=2^{{\mathcal {P}}(U)}=2^{n}

Por ejemplo consideremos el conjunto vacío: $\varnothing$ , la cardinalidad del conjunto vacío es:

{\mathcal {C}}(\varnothing )=0

la cardinalidad del conjunto vacío es cero, dado que no tiene ningún elemento, la cardinalidad del conjunto de las partes del conjunto vacío es:

{\mathcal {C}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=2^{{\mathcal {P}}(\varnothing )}=2^{0}=1

El conjunto de las partes del conjunto vacío tiene un elemento, el propio conjunto vacío:

{\mathcal {P}}(\varnothing )=\{\varnothing \}

El conjunto vacío tiene un posible subconjunto, el conjunto vacío, y además es el único posible subconjunto que puede tener.

Si consideramos un conjunto de un solo elemento:

U=\{a\}

la cardinalidad de un conjunto que tiene un único elemento es:

{\mathcal {C}}(U)=1

La cardinalidad de las partes del conjunto será:

{\mathcal {C}}({\mathcal {P}}(U))=2^{1}=2

El conjunto de las partes de $U$ es:

{\mathcal {P}}(U)={\mathcal {P}}(\{a\})=\{\{\},\{a\}\}\equiv \{\varnothing ,U\}

Si el conjunto tiene dos elemento:

U=\{a,b\}

la cardinalidad de un conjunto que tiene dos elementos es:

{\mathcal {C}}(U)={\mathcal {C}}(\{a,b\})=2

La cardinalidad de las partes del conjunto será:

{\mathcal {C}}({\mathcal {P}}(U))=2^{2}=4

El conjunto de las partes de $U$ es:

{\mathcal {P}}(U)={\mathcal {P}}(\{a,b\})=\{\{\},\{a\},\{b\},\{a,b\}\}\equiv \{\varnothing ,\{a\},\{b\},U\}

Para conjuntos de más elementos se aplica el mismo criterio.

La operación unaria interna, que llamaremos complemento:

{\begin{array}{rrcl}{}^{C}:&{\mathcal {P}}(U)&\to &{\mathcal {P}}(U)\\&A&\to &B=A^{C}\end{array}}

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento A de P(U), le asigna un B de P(U).

\forall A\in {\mathcal {P}}(U)\,:\quad \exists !B\in {\mathcal {P}}(U)\;/\quad B=A^{C}

Para todo elemento A en P(U), se cumple que existe un único B en P(U), tal que B es el complemento de A.

Definiendo el complemento de un conjunto así:

B=A^{C}\longrightarrow \quad \forall x\in B:\quad x\in U\;\land \;x\notin A

B es el complemento de A, si se cumple que para todo x que pertenezca a B, x pertenece a U y x no pertenece a A.

La primera operación binaria la llamaremos unión:

{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\cup

Con esta operación binaria interna definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).

\forall (A,B)\in {\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)\,:\quad \exists !C\in {\mathcal {P}}(U)\;/\quad C=A\cup B

Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la unión A y B.

Definiendo la unión de dos conjuntos como:

C=A\cup B\longrightarrow \quad \forall x\in C:\quad x\in A\;\lor \;x\in B

El conjunto C es la unión de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A o de B

La segunda operación binaria la llamaremos intersección:

{\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\cap

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (A, B) de P(U) por P(U), le asigna un C de P(U).

\forall (A,B)\in {\mathcal {P}}(U)\times {\mathcal {P}}(U)\,:\quad \exists !C\in {\mathcal {P}}(U)\;/\quad C=A\cap B

Para todo par ordenado (A,B) en P(U) por P(U), se cumple que existe un único C en P(U), tal que C es la intersección A y B.

Definiendo la intersección de dos conjuntos como:

C=A\cap B\longrightarrow \quad \forall x\in C:\quad x\in A\;\land \;x\in B

El conjunto C es la intersección de A y B, si para todo elemento x de C, se cumple que x es elemento de A y de B.