Complejo de cadenas

En álgebra abstracta un conjunto ${\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}}$ consistente en estructuras algebraicas ${\displaystyle A_{i}}$ (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y ${\displaystyle \delta _{i}}$ morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas si la construcción

${\displaystyle \ldots \to A_{n+1}{\begin{matrix}\delta _{n+1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}\delta _{n}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n-1}\to \ldots }$

satisface ${\displaystyle \delta _{n}\circ \delta _{n+1}=0\,}$. Esta última condición implica ${\displaystyle \operatorname {im} \delta _{n+1}\subseteq \ker \delta _{n}\,}$ para toda ${\displaystyle n}$. Este concepto es clave para entender lo que es la homología.

Notación

El símbolo ${\displaystyle A_{\bullet }}$ se utiliza para designar al par ${\displaystyle \{A_{i},\,\delta _{i}\}}$.

La homología

A las estructuras cociente

${\displaystyle H_{n}(A_{\bullet })={\frac {\ker \delta _{n}}{{\rm {im\,}}\delta _{n+1}}}\,}$

se les llama grupos de homología del complejo de cadenas ${\displaystyle A_{\bullet }}$

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.

Morfismo entre cadenas

cadeno-morfismo ${\displaystyle f_{\bullet }=\{f_{i}\}}$.

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos ${\displaystyle A_{\bullet }=\{A_{q},\,\delta _{q}\}}$ y ${\displaystyle B_{\bullet }=\{B_{q},\,\gamma _{q}\}}$ es un conjunto ${\displaystyle f_{\bullet }=\{f_{q}\}}$ de morfismos entre las estructuras algebraicas ${\displaystyle A_{q}{\stackrel {f_{q}}{\to }}B_{q}}$ tales que ${\displaystyle f_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ f_{q+1}}$. Simbólicamente ${\displaystyle f_{\bullet }\colon A_{\bullet }\to B_{\bullet }}$ indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos ${\displaystyle A_{q}{\stackrel {g_{q}}{\to }}B_{q-d}}$ con la misma propiedad ${\displaystyle g_{q}\circ \delta _{q+1}=\gamma _{q+1}\circ g_{q+1}}$

Como categoría

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico ${\displaystyle (X,A)}$ una familia de grupos abelianos ${\displaystyle \{H_{n}(X,A)\}}$ que formarán una complejo de cadenas ${\displaystyle \cdots \to H_{i}(A)\to H_{i}(X)\to H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)\to \cdots }$ y donde un mapeo continuo ${\displaystyle f\colon (X,B)\to (Y,B)}$ entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(A)\to H_{i}(B)}$, ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}$ y ${\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X,A)\to H_{i}(Y,B)}$ con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.