Espacio vectorial

En álgebra lineal, un espacio vectorial (o también llamado espacio lineal) es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo) que satisface 8 propiedades fundamentales.

Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espacio vectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector

Representación artística de un espacio vectorial.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares.

Historia

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional. Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana.^{[nota 1]} Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.^{[nota 2]} Este trabajo hizo uso del concepto de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.^{[nota 3]}

La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmento orientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último (Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).^{[nota 4]} Son elementos de R² y R⁴; el tratamiento mediante combinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.

En 1857, Cayley introdujo la notación matricial que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos de objetos abstractos dotados de operaciones.^{[nota 5]} En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, así como de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de los espacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llaman álgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicaciones lineales en 1888.^{[nota 6]}

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920^{[nota 7]} y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primeros estudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

Notación

Dado un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle K}$, se distinguen los elementos de ${\displaystyle V}$ y los de ${\displaystyle K}$.

Los elementos de ${\displaystyle V}$ suelen denotarse por

${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} }$

y son llamados vectores.

Dependiendo las fuentes que se consulten, también es común denotarlos por

${\displaystyle {\bar {u}},{\bar {v}},{\bar {w}}}$

y si el texto es de física entonces suelen denotarse por

${\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}}$

Mientras que los elementos de ${\displaystyle K}$ se denotan como

${\displaystyle a,b,\alpha ,\beta }$

y son llamados escalares.

Definición

Un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle K}$ (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, digamos ${\displaystyle V}$, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

${\displaystyle {\begin{array}{llccl}{\mbox{Suma}}&+:&{V\times V}&\rightarrow &{V}\\&&(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )&\mapsto &\mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} \end{array}}}$

operación interna tal que:

• Tenga la propiedad conmutativa:

${\displaystyle \forall \;\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\;:\quad \mathbf {u} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {u} }$

• Tenga la propiedad asociativa:

${\displaystyle \forall \;\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V\;:\quad \mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )=(\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} }$

• Exista el elemento neutro:

${\displaystyle \exists \;\mathbf {e} \in {}V\;,\quad \forall \;\mathbf {u} \in V\;:\quad \mathbf {u} +\mathbf {e} =\mathbf {e} +\mathbf {u} =\mathbf {u} }$

• Exista el elemento simétrico:

${\displaystyle \forall \;\mathbf {u} \in V\;,\quad \exists -\mathbf {u} \in {}V\;:\quad \mathbf {u} +(-\mathbf {u} )=\mathbf {e} }$

Y tenga la operación producto por un escalar:

${\displaystyle {\begin{array}{llccl}{\mbox{Producto}}&\cdot$ :&{K\times V}&\rightarrow &{V}\\&&{(a,\mathbf {u} )}&\mapsto &\mathbf {v} =a\cdot \mathbf {u} \end{array}}}

operación externa tal que:

• Tenga la propiedad asociativa:

${\displaystyle \forall \;{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in {}K\;,\quad \forall \;\mathbf {u} \in V\;:\quad {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot \mathbf {u} )=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot \mathbf {u} }$

• Exista el elemento neutro:

${\displaystyle \exists e\in {K}\;,\quad \forall \;\mathbf {u} \in V\;:\quad e\cdot \mathbf {u} =\mathbf {u} \cdot e=\mathbf {u} }$

• Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma vectorial:

${\displaystyle \forall \;{\mathit {a}}\in K\;,\quad \forall \;\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\;:\quad {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {u} +\mathbf {v} )={\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {v} }$

• Tenga la propiedad distributiva respecto de la suma escalar:

${\displaystyle \forall {}{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in {}K\;,\quad \forall \;\mathbf {u} \in V\;:\quad ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot \mathbf {u} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} +{\mathit {b}}\cdot \mathbf {u} }$

Véase también: Espacio euclídeo

Véase también: Vector

Véase también: Representación gráfica de vectores

Observaciones

La denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitual encontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usando las distinciones propias de la aritmética.

Para demostrar que un conjunto ${\displaystyle V_{}^{}}$ es un espacio vectorial:

• Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo ${\displaystyle \odot (V,V)}$ y ${\displaystyle \ast (V,K),}$ admiten una redefinición del tipo ${\displaystyle +(V,V)=\odot (V,V)}$ y ${\displaystyle \cdot (K,V)=\ast (V,K)}$ cumpliendo las 8 condiciones exigidas.
• Si supiésemos que ${\displaystyle V_{}^{}}$ es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados 1, 2, 3 y 4.
• Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de ${\displaystyle V_{}^{}}$ tendríamos probados los apartados 5 y 6.
• Si no, se dice lo contrario:

${\displaystyle {\mathit {a}}\mathbf {v} \neq \mathbf {v} {\mathit {a}}}$.

Propiedades

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3

supongamos que el neutro no es único, es decir, sean ${\displaystyle \mathbf {0_{1}} }$ y ${\displaystyle \mathbf {0_{2}} }$ dos vectores neutros, entonces: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathbf {u} +\mathbf {0_{1}} =\mathbf {u} \\\mathbf {u} +\mathbf {0_{2}} =\mathbf {u} \end{array}}\right\}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {0_{1}} =\mathbf {u} +\mathbf {0_{2}} \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbf {0_{1}} =\mathbf {0_{2}} \Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists$ !\;\mathbf {0} \in V}

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4

supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean ${\displaystyle \mathbf {-u_{1}} }$ y ${\displaystyle \mathbf {-u_{2}} }$ dos vectores opuestos de ${\displaystyle \mathbf {u} }$, entonces, como el neutro es único: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}\mathbf {u} -\mathbf {u_{1}} =\mathbf {0} \\\mathbf {u} -\mathbf {u_{2}} =\mathbf {0} \end{array}}\right\}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathbf {u} -\mathbf {u_{1}} =\mathbf {u} -\mathbf {u_{2}} \Rightarrow }$ ${\displaystyle -\mathbf {u_{1}} =-\mathbf {u_{2}} \Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists$ !-\mathbf {u} \in V}

Unicidad del elemento ${\displaystyle 1_{}^{}}$ en el cuerpo ${\displaystyle K_{}^{}}$

supongamos que 1 no es único, es decir, sean ${\displaystyle {\mathit {1_{1}}}\;}$ y ${\displaystyle {\mathit {1_{2}}}\;}$ dos unidades, entonces: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{1}}}={\mathit {a}}\\{\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{2}}}={\mathit {a}}\end{array}}\right\}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{1}}}={\mathit {a}}\cdot {\mathit {1_{2}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {1_{1}}}={\mathit {1_{2}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists$ !\;{\mathit {1}}\in K}

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo ${\displaystyle K_{}^{}}$

supongamos que el inverso ${\displaystyle a_{}^{-1}}$ de a, no es único, es decir, sean ${\displaystyle a_{1}^{-1}}$ y ${\displaystyle a_{2}^{-1}}$ dos opuestos de ${\displaystyle a_{}^{}}$, entonces, como el neutro es único: ${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}{\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {1}}\\{\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{2}^{-1}}}={\mathit {1}}\end{array}}\right\}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {a}}\cdot {\mathit {a_{2}^{-1}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a_{1}^{-1}}}={\mathit {a_{2}^{-1}}}\Rightarrow }$ ${\displaystyle \exists$ !{\mathit {a^{-1}}}\in K}

Producto de un escalar por el vector neutro

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} =}$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {u} +\mathbf {0} )=}$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {0} \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$

Producto del escalar 0 por un vector

${\displaystyle \mathbf {u} =}$ ${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {u} =}$ ${\displaystyle ({\mathit {1}}+{\mathit {0}})\cdot \mathbf {u} =}$ ${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {u} +{\mathit {0}}\cdot \mathbf {u} =}$ ${\displaystyle \mathbf {u} +{\mathit {0}}\cdot \mathbf {u} \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {0}}\cdot \mathbf {u} =}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Si ${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} =\mathbf {0} \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathit {a}}={\mathit {0}}\quad \lor \quad \mathbf {u} =\mathbf {0} .}$

• Si ${\displaystyle a_{}^{}=0,}$ es cierto.
• Si ${\displaystyle a\neq 0,}$ entonces:

${\displaystyle \exists$ !\;a^{-1}\in K:} ${\displaystyle a^{-1}a=1\Rightarrow }$ ${\displaystyle u=}$ ${\displaystyle 1u=}$ ${\displaystyle (a^{-1}a)u=}$ ${\displaystyle a^{-1}(au)=}$ ${\displaystyle a^{-1}0=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle u_{}^{}=0.}$

Notación

${\displaystyle -au=-(au)\,}$.

Observación

${\displaystyle -au=(-a)u=a(-u)\,}$

• Si ${\displaystyle au+a(-u)=a(u-u)=a0=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle a(-u)=-au\,}$
• Si ${\displaystyle au+(-a)u=(a-a)u=0u=0\Rightarrow }$ ${\displaystyle (-a)u=-au\,}$

Primer ejemplo con demostración

Se quiere probar que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ es un espacio vectorial sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Si ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ juega el papel de ${\displaystyle V\;}$ y ${\displaystyle \mathbb {R} }$ el de ${\displaystyle K\;}$:

Los elementos:

${\displaystyle \mathbf {u} \in V=\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times {}\mathbb {R} }$

son, de forma genérica:

${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente

En ${\displaystyle V\;}$ se define la operación suma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&{V\times {}V}&\longrightarrow {}&{V}\\&(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )&\mapsto &\mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} \end{array}}}$

donde:

${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{x},w_{y})}$

y la suma de u y v sería:

${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} =(u_{x},u_{y})+(v_{x},v_{y})=(u_{x}+v_{x},u_{y}+v_{y})=(w_{x},w_{y})=\mathbf {w} }$

donde:

${\displaystyle {\begin{array}{l}w_{x}=u_{x}+v_{x}\\w_{y}=u_{y}+v_{y}\end{array}}}$

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

La operación interna suma tiene las propiedades:

1) La propiedad conmutativa, es decir:

${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} =\mathbf {v} +\mathbf {u} \;,\quad \forall {}\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in {}V}$

${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} =}$

${\displaystyle (u_{x},u_{y})+(v_{x},v_{y})=}$

${\displaystyle (u_{x}+v_{x},u_{y}+v_{y})=}$

${\displaystyle (v_{x}+u_{x},v_{y}+u_{y})=}$

${\displaystyle (v_{x},v_{y})+(u_{x},u_{y})=}$

${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {u} }$

${\displaystyle \mathbf {v} +\mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {u} }$

2) La propiedad asociativa:

${\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} )+\mathbf {w} =\mathbf {u} +(\mathbf {v} +\mathbf {w} )}$

${\displaystyle {\Big (}(u_{x},u_{y})+(v_{x},v_{y}){\Big )}+(w_{x},w_{y})=(u_{x},u_{y})+{\Big (}(v_{x},v_{y})+(w_{x},w_{y}){\Big )}}$

${\displaystyle (u_{x}+v_{x},u_{y}+v_{y})+(w_{x},w_{y})=(u_{x},u_{y})+(v_{x}+w_{x},v_{y}+w_{y})\;}$

${\displaystyle (u_{x}+v_{x}+w_{x},u_{y}+v_{y}+w_{y})=(u_{x}+v_{x}+w_{x},u_{y}+v_{y}+w_{y})\;}$

3) tiene elemento neutro ${\displaystyle \mathbf {0} }$:

${\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {0} =\mathbf {u} }$

${\displaystyle (u_{x},u_{y})+(0,0)=(u_{x}+0,u_{y}+0)=(u_{x},u_{y})\;}$

4) tenga elemento opuesto:

${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {-u} =(-u_{x},-u_{y})}$

${\displaystyle \mathbf {u} +(\mathbf {-u} )=(u_{x},u_{y})+(-u_{x},-u_{y})=(u_{x}-u_{x},u_{y}-u_{y})=(0,0)=\mathbf {0} }$

La operación producto por un escalar:

${\displaystyle {\begin{array}{ccll}\cdot$ :&K\times V&\longrightarrow &V\\&({\mathit {a}},\mathbf {u} )&\mapsto &\mathbf {v} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} \end{array}}}

El producto de a y u será:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} =a\cdot (u_{x},u_{y})=(a\cdot u_{x},a\cdot u_{y})=(v_{x},v_{y})=\mathbf {v} }$

donde:

${\displaystyle {\begin{array}{l}v_{x}=a\cdot u_{x}\\v_{y}=a\cdot u_{y}\end{array}}}$

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.

5) tenga la propiedad asociativa:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot \mathbf {u} )=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot \mathbf {u} \;,\quad \forall {}{\mathit {a}},{\mathit {b}}\in K\;,\quad \forall {}\mathbf {u} \in V}$

Esto es:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot \mathbf {u} )=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot (u_{x},u_{y}))=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot (u_{x},u_{y})}$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ({\mathit {b}}\cdot u_{x},{\mathit {b}}\cdot u_{y})=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}})\cdot (u_{x},u_{y})}$

${\displaystyle ({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot u_{x},{\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot u_{y})=({\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot u_{x},{\mathit {a}}\cdot {\mathit {b}}\cdot u_{y})}$

6) ${\displaystyle {\mathit {1}}\in {}R}$ sea elemento neutro en el producto:

${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {u} =\mathbf {u} \;,\quad \forall {}\mathbf {u} \in {}V}$

Que resulta:

${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot \mathbf {u} =\mathbf {u} }$

${\displaystyle {\mathit {1}}\cdot (u_{x},u_{y})=\mathbf {u} }$

${\displaystyle ({\mathit {1}}\cdot u_{x},{\mathit {1}}\cdot u_{y})=\mathbf {u} }$

${\displaystyle (u_{x},u_{y})=\mathbf {u} }$

Que tiene la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {u} +\mathbf {v} )={\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {v} \;,\quad \forall {}{\mathit {a}}\in R\;,\quad \forall {}\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}$

En este caso tenemos:

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (\mathbf {u} +\mathbf {v} )={\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} +{\mathit {a}}\cdot \mathbf {v} }$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot ((u_{x},u_{y})+(v_{x},v_{y}))={\mathit {a}}\cdot (u_{x},u_{y})+{\mathit {a}}\cdot (v_{x},v_{y})}$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (u_{x}+v_{x},u_{y}+v_{y})=({\mathit {a}}\cdot u_{x},{\mathit {a}}\cdot u_{y})+({\mathit {a}}\cdot v_{x},{\mathit {a}}\cdot v_{y})}$

${\displaystyle {\mathit {a}}\cdot (u_{x}+v_{x},u_{y}+v_{y})=({\mathit {a}}\cdot u_{x}+{\mathit {a}}\cdot v_{x},{\mathit {a}}\cdot u_{y}+{\mathit {a}}\cdot v_{y})}$

${\displaystyle ({\mathit {a}}\cdot (u_{x}+v_{x}),{\mathit {a}}\cdot (u_{y}+v_{y}))=({\mathit {a}}\cdot (u_{x}+v_{x}),{\mathit {a}}\cdot (u_{y}+v_{y}))}$

8) distributiva por la derecha:

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot \mathbf {u} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} +{\mathit {b}}\cdot \mathbf {u} \;,\quad \forall {\mathit {a}},{\mathit {b}}\in R\;,\quad \forall \mathbf {u} \in V}$

Que en este caso tenemos:

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot \mathbf {u} ={\mathit {a}}\cdot \mathbf {u} +{\mathit {b}}\cdot \mathbf {u} }$

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (u_{x},u_{y})={\mathit {a}}\cdot (u_{x},u_{y})+{\mathit {b}}\cdot (u_{x},u_{y})}$

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (u_{x},u_{y})=({\mathit {a}}\cdot u_{x},{\mathit {a}}\cdot u_{y})+({\mathit {b}}\cdot u_{x},{\mathit {b}}\cdot u_{y})}$

${\displaystyle ({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot (u_{x},u_{y})=({\mathit {a}}\cdot u_{x}+{\mathit {b}}\cdot u_{x},{\mathit {a}}\cdot u_{y}+{\mathit {b}}\cdot u_{y})}$

${\displaystyle (({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot u_{x},({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot u_{y})=(({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot u_{x},({\mathit {a}}+{\mathit {b}})\cdot u_{y})}$

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos

• Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sí mismo. Por ejemplo, el conjunto de los números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ es un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacio vectorial, mientras que el conjunto de los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ es un ${\displaystyle \mathbb {C} }$-espacio vectorial.
• Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sus subcuerpos. Por ejemplo, los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$ forman un ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacio vectorial, ya que los números reales forman un subcuerpo de los complejos.
• Dado un cuerpo ${\displaystyle K}$, el conjunto de ${\displaystyle n}$-tuplas ${\displaystyle K^{n}}$ forma un espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se definen por componentes. Por ejemplo, el plano euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ es un espacio vectorial donde la suma de dos pares ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ y ${\displaystyle (b_{1},b_{2})}$ es ${\displaystyle (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2})}$.
• Los espacios de matrices de tamaño ${\displaystyle m\times n}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle K}$ forman un espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se definen por componentes.
• Los espacios de polinomios ${\displaystyle K_{n}[X]}$ (con coeficientes en un cuerpo ${\displaystyle K}$, en la variable ${\displaystyle X}$ y de grado menor o igual que ${\displaystyle n}$) son un espacio vectorial con la suma y el producto por escalares de los polinomios.

Suma de dos funciones ${\displaystyle f(x)=x+x^{2}}$ y ${\displaystyle g(x)=-x^{2}}$. El resultado ${\displaystyle f+g}$ toma en cada punto ${\displaystyle x}$ el valor ${\displaystyle f(x)+g(x)}$.

• Los espacios de funciones continuas y derivables son espacios vectoriales. Tanto la suma como el producto por escalares en estos espacios se definen puntualmente: si ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son dos funciones, su suma ${\displaystyle f+g}$ se define mediante ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ para cualquier punto ${\displaystyle x}$, mientras que el producto de ${\displaystyle f}$ por un escalar ${\displaystyle \lambda }$ se describe mediante ${\displaystyle (\lambda f)(x)=\lambda f(x)}$.
• Los espacios ${\displaystyle L^{p}}$ y los espacios de Sóbolev también son espacios vectoriales con la suma y el producto por escalares definidos puntualmente.
• Todo subespacio vectorial de un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ es, en sí mismo, un espacio vectorial con la suma y el producto por escalares de ${\displaystyle V}$.
• Dados dos espacios vectoriales ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle K}$, el conjunto ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K}(V,W)}$ de aplicaciones lineales de ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ es un espacio vectorial, donde la suma y el producto por escalares se definen puntualmente. En particular, el espacio dual ${\displaystyle V^{*}=\operatorname {Hom} _{K}(V,K)}$ de un espacio ${\displaystyle V}$ es un espacio vectorial.

Subespacios vectoriales

Artículo principal: Subespacio vectorial

Dados un cuerpo ${\displaystyle K}$ y un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ sobre ${\displaystyle K}$, un subconjunto no vacío ${\displaystyle S\subseteq V}$ de ${\displaystyle V}$ se dice que es un subespacio vectorial de ${\displaystyle V}$ si:

1. dados dos vectores cualesquiera ${\displaystyle u,v\in S}$, su suma ${\displaystyle u+v}$ está contenida en ${\displaystyle S}$, y
2. dado un vector cualquiera ${\displaystyle v\in S}$ y un escalar cualquiera ${\displaystyle \lambda \in K}$, el producto ${\displaystyle \lambda v}$ está contenido en ${\displaystyle S}$ (en particular, tomando ${\displaystyle \lambda =0}$, el vector nulo ${\displaystyle 0\in V}$ también es un elemento de ${\displaystyle S}$).

Estas dos propiedades convierten a ${\displaystyle S}$ en un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle K}$, dado que el resto de propiedades de la suma y el producto por escalares se cumplen en ${\displaystyle S}$ por ser un subconjunto de ${\displaystyle V}$.

Dos planos en el espacio que pasan por el origen junto con su intersección, una recta. Son subespacios vectoriales que se pueden describir mediante sistemas homogéneos de ecuaciones en 3 variables.

Por ejemplo, en el ${\displaystyle \mathbb {R} }$-espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, la recta ${\displaystyle y=x}$ define un subespacio vectorial ${\displaystyle S=\{(x,x):x\in \mathbb {R} \}}$ de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ formado por los puntos que constituyen dicha recta:

1. la suma de dos elementos ${\displaystyle (x_{1},x_{1}),(x_{2},x_{2})}$ tiene la forma ${\displaystyle (x_{1}+x_{2},x_{1}+x_{2})}$, que satisface la ecuación de la recta y, por lo tanto, es un elemento de ${\displaystyle S}$;
2. al multiplicar ${\displaystyle (x_{1},x_{1})}$ por un número real ${\displaystyle \lambda }$, el resultado ${\displaystyle (\lambda x_{1},\lambda x_{1})}$ vuelve a ser un punto de la recta.

Cualquier recta en el plano que pase por el origen dará lugar a un subespacio de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Por el contrario, la recta ${\displaystyle y=x+1}$ no da lugar a ningún subespacio, puesto que los puntos de la recta deben tener la forma ${\displaystyle (x,x+1)}$, con ${\displaystyle x}$ un número real: al multiplicar cualquiera de ellos por cero se obtiene el punto ${\displaystyle (0,0)}$, que no forma parte de la recta.

En general, se puede obtener un subespacio vectorial a partir de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo: sistemas de la forma

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}&+\dots &+a_{1,n}x_{n}&=0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m,1}x_{1}&+\dots &+a_{m,n}x_{n}&=0\end{matrix}}\right\}\quad \equiv \quad {\begin{pmatrix}a_{1,1}&\dots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\\a_{m,1}&\dots &a_{m,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\;=\;{\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\quad \longrightarrow \quad A_{}^{}x=0}$

Estos sistemas tienen siempre al menos una solución dada por ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}=0}$, el vector nulo. Además, tanto sumando dos soluciones como multiplicando una solución por un escalar se obtiene una nueva solución. Por lo tanto, el conjunto de soluciones del sistema cumple las condiciones para ser un subespacio vectorial.

Bases y dimensión de un espacio vectorial

Artículos principales: Base (álgebra) y Dimensión de un espacio vectorial.

Cada vector ${\displaystyle u}$ es combinación lineal de forma única de los vectores ${\displaystyle v_{1}}$ y ${\displaystyle v_{2}}$.

Una base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores respecto de los cuales se puede expresar cualquier otro vector del espacio de manera única. Si ${\displaystyle V}$ es un espacio vectorial sobre un cuerpo ${\displaystyle K}$, se dirá que los vectores ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\in V}$ formarán una base de ${\displaystyle V}$ si se cumplen las siguientes dos condiciones:

• Ser un sistema generador: para cualquier otro vector ${\displaystyle v\in V}$, existen unos escalares ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}\in K}$ tales que el vector ${\displaystyle v}$ se puede expresar como la combinación lineal

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}=\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\cdots +\lambda _{n}v_{n}}$.

• Ser un conjunto linealmente independiente: ninguno de los vectores ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ puede escribirse como combinación lineal de los demás.

Las dos condiciones juntas conllevan, además, que la elección de escalares de la combinación lineal es única: si un vector se puede expresar simultáneamente como ${\displaystyle v=\lambda _{1}v_{1}+\cdots +\lambda _{n}v_{n}}$ y como ${\displaystyle v=\mu _{1}v_{1}+\cdots +\mu _{n}v_{n}}$, necesariamente los escalares deberán ser iguales dos a dos: ${\displaystyle \lambda _{1}=\mu _{1},\lambda _{2}=\mu _{2},\ldots ,\lambda _{n}=\mu _{n}}$. A los (únicos) escalares ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ que determinan a un vector ${\displaystyle v\in V}$ se les llama coordenadas de ${\displaystyle v}$ respecto de la base ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$.

Existen espacios vectoriales que no admiten ninguna base con una cantidad finita de vectores. Por ejemplo, en el espacio de todos los polinomios en una variable, una base con una cantidad finita de polinomios no podrá representar a ningún polinomio de grado mayor que el de los polinomios de la base. Aunque un espacio vectorial tenga una base infinita, los elementos del espacio deben poder escribirse como una combinación lineal finita de vectores de la base.

Distintas bases ${\displaystyle \{v_{1},v_{2}\}}$ del plano. Las coordenadas del vector ${\displaystyle u}$ serán distintas en cada caso.

Un espacio vectorial puede tener más de una base, en cuyo caso todas sus bases deberán estar formadas por el mismo número de vectores, llamado dimensión del espacio. Si ninguna de las bases del espacio es finita, entonces se dirá que el espacio es de dimensión infinita.

Si un espacio vectorial tiene dos bases distintas, las coordenadas de un vector serán distintas dependiendo de la base que se escoja. La relación entre las coordenadas de un vector en una base y sus coordenadas en otra viene dada por las matrices de cambio de base.

Todos los espacios vectoriales poseen, al menos, una base; para demostrar que esto es así cuando el espacio no admite bases finitas es necesario el lema de Zorn.

Construcciones básicas

Además de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espacios vectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también se caracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X a cualquier otro espacio vectorial.

Intersección de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales ${\displaystyle F,G\subset E}$, la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y lo notaremos como:

${\displaystyle F\cap G:=\{u:\;u\in F,\;u\in G\}}$.

Observaciones. Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.

Suma de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales ${\displaystyle F,G\subset E}$, la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y la notaremos como:

${\displaystyle F+G:=\{u=v_{1}+v_{2}:\;v_{1}\in F,\;v_{2}\in G\}}$.

Si F y G son subespacios vectoriales de E, su suma F+G es el subespacio vectorial de E más pequeño que contiene a F y a G.

Observación. Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

Teorema Fórmula de Grassmann

Dado dos subespacios vectoriales ${\displaystyle F,G\subset E}$ de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente:

${\displaystyle \dim _{E}(F+G)=\dim _{E}(F)+\dim _{E}(G)-\dim _{E}(F\cap G)}$.

Suma directa de subespacios vectoriales

Dados dos subespacios vectoriales ${\displaystyle F,G\subset E}$, diremos que ${\displaystyle F+G_{}^{}}$ es una suma directa si ${\displaystyle F\cap G={0}}$ y lo denotaremos como:

${\displaystyle F\oplus G}$.

Cuando ${\displaystyle F}$ y ${\displaystyle G}$ están en suma directa, cada vector de ${\displaystyle F+G}$ se expresa de forma única como suma de un vector de ${\displaystyle F}$ y otro vector de ${\displaystyle G}$.

Cociente de espacios vectoriales

Dado un espacio vectorial ${\displaystyle E\,}$ y un subespacio vectorial ${\displaystyle F\subset E}$.

Dados ${\displaystyle u,v\in E}$ diremos que están relacionados módulo ${\displaystyle F\,}$ si ${\displaystyle u-v\in F}$.

• La relación anterior es una relación de equivalencia.

Se nota por ${\displaystyle [u]=u+F:=\{u+v:v\in F\}}$ ${\displaystyle =\{w:w=u+v,\;v\in F\}}$ a la clase de ${\displaystyle u\,}$ módulo ${\displaystyle F\,}$.

Llamaremos conjunto cociente o espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia anterior:

Se nota por ${\displaystyle E/F_{}^{}}$ a dicho espacio cociente.

El espacio ${\displaystyle E/F_{}^{}}$ es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

${\displaystyle {\begin{matrix}[u]+[v]&:=&[u+v]\\\;\;\;\;\;\;\;\lambda [u]&:=&[\lambda u]\;\;\;\;\end{matrix}}}$

Suma directa de espacios vectoriales

Dado dos espacios vectoriales ${\displaystyle E,\;F_{}^{}}$ sobre un mismo cuerpo ${\displaystyle K_{}^{}}$, llamaremos suma directa al espacio vectorial ${\displaystyle E\times F=}$${\displaystyle \{u:=(u_{1},\;u_{2}):u_{1}\in E,\;u_{2}\in F\}}$, veamos que están bien definidas las dos operaciones:

${\displaystyle u+v=(u_{1},\;u_{2})+(v_{1},\;v_{2})=}$${\displaystyle (u_{1}+v_{1},\;u_{2}+v_{2})}$,

${\displaystyle au=a(u_{1},\;u_{2})=}$${\displaystyle (au_{1},\;au_{2})}$.

Relación con otras estructuras matemáticas

Desde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida en que cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espacios vectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesión de funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para hacer frente a series infinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar. Las necesidades del análisis funcional requieren considerar nuevas estructuras.

Espacios vectoriales topológicos, normados y de Hilbert

Artículos principales: Espacio vectorial normado, Norma (matemáticas), Espacio de Banach y Espacio de Hilbert.

Los espacios vectoriales topológicos son un tipo particular de espacio vectorial. Asumiendo que ${\displaystyle K}$ denota el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, para que un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ sobre el cuerpo ${\displaystyle K}$ se considere un espacio vectorial topológico, el espacio ${\displaystyle V}$ debe estar equipado con una topología que convierta a ${\displaystyle V}$ en un espacio topológico y que cumpla que

• para cualquier vector ${\displaystyle v\in V}$, el conjunto ${\displaystyle \{v\}}$ sea cerrado,
• la suma en el espacio ${\displaystyle V}$, entendida como una función ${\displaystyle +:V\times V\to V}$, sea continua y
• el producto por escalares, entendido como una función ${\displaystyle \cdot :K\times V\to V}$, sea continuo.

Dentro del grupo de los espacios vectoriales topológicos se hallan los espacios normados. Un espacio normado es un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ dotado de una norma: una función que asigna a cada vector ${\displaystyle v\in V}$ un número real ${\displaystyle \|v\|}$ y que verifica ciertas propiedades:

• la norma de cualquier vector debe ser mayor que cero, excepto en el caso del vector nulo, cuya norma es cero,
• para todo vector ${\displaystyle v\in V}$ y todo escalar ${\displaystyle \lambda \in K}$, la norma del producto cumple ${\displaystyle \|\lambda v\|=|\lambda |\|v\|}$, donde ${\displaystyle |\lambda |}$ denota el valor absoluto de ${\displaystyle \lambda }$ y
• la desigualdad triangular: dados dos vectores cualesquiera ${\displaystyle u,v\in V}$, la norma de su suma cumple ${\displaystyle \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|}$.

Algunos ejemplos de espacios normados son los espacios euclídeos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, donde la norma de un vector es su módulo.

En todo espacio normado, la norma da lugar a una función distancia entre vectores, que asigna a cada par de vectores ${\displaystyle u,v\in V}$ la norma de su diferencia ${\displaystyle \|u-v\|}$. Con esta función distancia, el espacio ${\displaystyle V}$ se convierte en un espacio métrico. Si un espacio normado es completo como espacio métrico, el espacio normado se denomina espacio de Banach.

Un espacio vectorial real también puede ir equipado con un producto escalar: una función que asigna a cada par de vectores ${\displaystyle u,v\in V}$ un número real ${\displaystyle u\cdot v}$. Todo espacio con producto escalar es también un espacio normado, debido a que a partir de un producto escalar se puede definir una norma dada por

${\displaystyle \|v\|={\sqrt {v\cdot v}}}$ para todo ${\displaystyle v\in V}$.

De manera análoga, un espacio vectorial complejo también puede llevar asociado un producto interno, que generaliza al producto escalar de los números reales y que también da lugar a una norma.

Los espacios vectoriales dotados de un producto interno se denominan espacios prehilbertianos. Si, además, un espacio prehilbertiano con la norma inducida por el producto interno es un espacio de Banach, el espacio se denomina espacio de Hilbert. Los espacios de Banach y de Hilbert son parte del campo de estudio del análisis funcional, con aplicaciones en el ámbito de la optimización convexa. En la física, los postulados de la mecánica cuántica se basan en espacios de Hilbert sobre los números complejos.

Módulos y álgebras

Artículo principal: Módulo (matemática)

Los módulos generalizan la noción de espacio vectorial al caso en el que los escalares no pertenezcan a un cuerpo, sino a un anillo (con identidad). Una diferencia notable entre los espacios vectoriales y los módulos es que todo espacio vectorial posee una base, mientras que entre los módulos únicamente los módulos libres tienen una base. Los módulos sobre anillos conmutativos son el objeto de estudio del álgebra conmutativa.

Las álgebras sobre un cuerpo ${\displaystyle K}$ son aquellos espacios vectoriales sobre ${\displaystyle K}$ en los que también existe un producto entre dos vectores que es bilineal (es decir, distributivo con respecto de la suma a ambos lados). Los espacios de polinomios en una variable ${\displaystyle K[X]}$ son un ejemplo de álgebra en la que el producto es el producto usual de polinomios.

Aplicaciones lineales entre espacios vectoriales

Artículo principal: Aplicación lineal

Dado un cuerpo ${\displaystyle K}$ y dos espacios vectoriales ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$ sobre ${\displaystyle K}$, una aplicación ${\displaystyle K}$-lineal es una función ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ que verifica que

${\displaystyle f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})}$ para dos vectores cualesquiera ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ y

${\displaystyle f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v)}$ para cualquier escalar ${\displaystyle \lambda \in K}$ y cualquier vector ${\displaystyle v\in V}$.

En otras palabras, una aplicación ${\displaystyle K}$-lineal es una función que respeta la estructura de los espacios vectoriales, llevando sumas a sumas y productos por escalares a productos por escalares. Cuando el cuerpo de escalares quede claro por el contexto, estas aplicaciones se denominarán aplicaciones lineales.

Si los espacios vectoriales ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$ son de dimensión finita ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle n}$ respectivamente, se puede fijar una base ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{m}\}}$ de ${\displaystyle V}$ y una base ${\displaystyle \{w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}\}}$ de ${\displaystyle W}$. Esto permite describir una aplicación lineal ${\displaystyle f}$ en términos de su matriz coordenada: una matriz ${\displaystyle A}$ de tamaño ${\displaystyle n\times m}$ tal que, para cualquier vector ${\displaystyle v=x_{1}v_{1}+\cdots +x_{m}v_{m}\in V}$, las coordenadas de su imagen ${\displaystyle f(v)=y_{1}w_{1}+\cdots +y_{n}w_{n}\in W}$ deben cumplir

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}}$.

En términos de la teoría de categorías, las aplicaciones ${\displaystyle K}$-lineales son los morfismos de la categoría de espacios vectoriales sobre el cuerpo ${\displaystyle K}$.

Véase también

• Combinación lineal
• Sistema generador
• Independencia lineal
• Base (álgebra)
• Teorema rango-nulidad
• Base Ortogonal
• Base Ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Producto escalar
• Producto vectorial
• Producto mixto
• Producto tensorial

• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Espacio vectorial.