Conjetura de Legendre

La conjetura de Legendre, enunciada por Adrien-Marie Legendre, afirma que siempre existe un número primo entre ${\displaystyle n^{2}}$ y ${\displaystyle (n+1)^{2}}$. Esta conjetura forma parte de los problemas de Landau.

Chen Jingrun demostró en 1965 que siempre existe un número comprendido entre ${\displaystyle n^{2}}$ y ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ que sea primo o semiprimo, es decir, el producto de dos primos. Además, Iwaniec y Pintz^[1] probaron en 1984 que siempre existe un número primo entre ${\displaystyle n-n^{\theta }}$ y ${\displaystyle n}$, siendo ${\displaystyle \theta =23/42=0,547...}$

La sucesión de los menores números primos mayores que ${\displaystyle n^{2}}$ (comenzando desde 1) es 2, 5, 11, 17, 29, 37, 53, 67, 83, 101, 127, 149, 173, 197, 227, 257, 293, 331, 367, 401.^[2]

El número de números primos comprendidos entre ${\displaystyle n^{2}}$ y ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ es 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 4, 3, 5, 4, 5, 5, 4, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 9.^[3]