Conjunto denso

En topología, se dice que un subconjunto ${\displaystyle A}$ de un espacio topológico ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)}$ es denso en ${\displaystyle X}$ si cada punto de ${\displaystyle X}$ pertenece a ${\displaystyle A}$ o está "arbitrariamente cerca" de ${\displaystyle A}$.

Formalmente, un subconjunto ${\displaystyle A}$ es denso en ${\displaystyle X}$ si el menor conjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ que contiene a ${\displaystyle A}$ es el mismo ${\displaystyle X}$.

Definición

Sea ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ un espacio topológico y ${\displaystyle A\subseteq X}$ un subconjunto. Se dice que ${\displaystyle A}$ es denso en ${\displaystyle X}$ si y solo si ${\displaystyle {\bar {A}}=X}$, es decir, la clausura topológica del subconjunto es todo el espacio.

Las siguientes proposiciones para ${\displaystyle A}$ son equivalentes:

1. ${\displaystyle A}$ es denso en ${\displaystyle X}$.
2. El menor conjunto cerrado de ${\displaystyle X}$ que contiene a ${\displaystyle A}$ es el mismo ${\displaystyle X}$.
3. El interior del complemento de ${\displaystyle A}$ es vacío, es decir, ${\displaystyle \left(X\setminus A\right)^{\circ }=\emptyset }$.
4. ${\displaystyle A}$ interseca a todo abierto no vacío de ${\displaystyle X}$.
5. Todo punto ${\displaystyle X}$ pertenece a ${\displaystyle A}$ o es punto de acumulación de ${\displaystyle A}$.

Otras proposiciones

• Si dos aplicaciones continuas de X en Y, siendo Y un espacio de Hausdorff, coinciden en un conjunto denso; entonces coinciden en todo el espacio X.

• D₁ y D₂ son subconjuntos densos en X, no necesariamente lo es su intersección:

${\displaystyle D_{1}=\mathbb {Q} \;\;y\;\;D_{2}=\mathbb {R} -\mathbb {Q} }$

• Sean D₁ , D₂ subconjuntos densos de X , además D₁ o D₂ es abierto, entonces D₁∩D₂ es denso^[1]

Ejemplos

• Todo espacio topológico es denso en sí mismo.
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e ${\displaystyle \mathbb {I} }$ son subconjuntos densos en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con la topología usual.
• Los polinomios son densos en el conjunto ${\displaystyle C[a,b]}$ de las funciones continuas definidas en ${\displaystyle [a,b]}$, dotado de la topología asociada a la distancia ${\displaystyle d_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|}$.

Espacio separable

Si ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ contiene a un denso numerable se dice que es un espacio topológico separable. Ejemplos de espacios separables son ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ y ${\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} )}$ (el espacio de las funciones continuas que van de ${\displaystyle [0,1]}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$).