Distribución log-normal

En probabilidad y estadística, la distribución normal logarítmica es una distribución de probabilidad continua de una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si ${\displaystyle X}$ es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces ${\displaystyle \operatorname {exp} (X)}$ tiene una distribución log-normal, es decir ${\displaystyle e^{X}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{x},\sigma _{x}^{2})}$.

Log-normal
Función de densidad de probabilidad
Función de distribución de probabilidad
Parámetros	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \sigma >0}$
Dominio	${\displaystyle x\in (0,\infty )}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle \Phi \left({\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right)}$
Media	${\displaystyle \exp \left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)}$
Mediana	${\displaystyle \exp(\mu )}$
Moda	${\displaystyle \exp(\mu -\sigma ^{2})}$
Varianza	${\displaystyle e^{2\mu +\sigma ^{2}}\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)}$
Coeficiente de simetría	${\displaystyle \left(e^{\sigma ^{2}}+2\right){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}}$
Entropía	${\displaystyle \log _{2}\left(\sigma e^{\mu +{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}\right)}$
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Log-normal también se escribe log normal o lognormal.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

Definición

Función de Densidad

Una variable aleatoria positiva ${\displaystyle X}$ tiene una distribución lognormal con parámetros ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$ y escribimos ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$, si el logaritmo natural de ${\displaystyle X}$ sigue una distribución normal con media ${\displaystyle \mu }$ y varianza ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, esto es

${\displaystyle \ln(X)\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$

Sean ${\displaystyle \Phi }$ y ${\displaystyle \phi }$ las funciones de distribución acumulada y de densidad de una normal estándar ${\displaystyle N(0,1)}$, entonces la función de densidad de probabilidad de la distribución log-normal está dada por:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {d}{dx}}\operatorname {P} [X\leq x]={\frac {d}{dx}}\operatorname {P} [\ln(X)\leq \ln(x)]={\frac {d}{dx}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\&=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {d}{dx}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)=\phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\&={\frac {1}{\sigma x{\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Función de Distribución

La función de distribución acumulada es

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)}$

donde ${\displaystyle \Phi }$ es la función de distribución acumulada de una normal estándar ${\displaystyle N(0,1)}$.

La expresión anterior también puede ser escrita como

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$

Log-normal Multivariada

Si${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim N({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ es una distribución normal multivariada entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=\exp({\boldsymbol {X}})}$ tiene una distribución lognormal multivariante con media

${\displaystyle \operatorname {E} [{\boldsymbol {Y}}]_{i}=e^{\mu _{i}+{\frac {1}{2}}\Sigma _{ii}}}$

y matriz de covarianza

${\displaystyle \operatorname {Var} ({\boldsymbol {Y}})_{ij}=e^{\mu _{i}+\mu _{j}{\frac {1}{2}}(\Sigma _{ii}+\Sigma _{jj})}\left(e^{\Sigma _{ij}}-1\right)}$

Propiedades

Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ entonces la variable aleatoria ${\displaystyle X}$ cumple algunas propiedades.

La media de ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \mathrm {E} [X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}}$

La varianza de ${\displaystyle X}$ es

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}$.

Relación con media y la desviación estándar geométrica

La distribución log-normal, la media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, la media geométrica es igual a ${\displaystyle \exp(\mu )}$ y la desviación estándar geométrica es igual a ${\displaystyle \exp(\sigma )}$.

Si una muestra de datos determina que proviene de una población distribuida siguiendo una distribución log-normal, la media geométrica de la desviación estándar geométrica puede utilizarse para estimar los intervalos de confianza tal como la media aritmética y la desviación estándar se usan para estimar los intervalos de confianza para un dato distribuido normalmente.

Límite de intervalo de confianza	log	geométrica
3σ límite inferior	${\displaystyle \mu -3\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}}$
2σ límite inferior	${\displaystyle \mu -2\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}}$
1σ límite inferior	${\displaystyle \mu -\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }/\sigma _{\mathrm {geo} }}$
1σ límite superior	${\displaystyle \mu +\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }}$
2σ límite superior	${\displaystyle \mu +2\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{2}}$
3σ límite superior	${\displaystyle \mu +3\sigma }$	${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }\sigma _{\mathrm {geo} }^{3}}$

Donde la media geométrica ${\displaystyle \mu _{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )}$ y la desviación estándar geométrica ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )}$

Momentos

Los primeros momentos son:

${\displaystyle \mu _{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}}$

${\displaystyle \mu _{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}}$

o de forma general:

${\displaystyle \mu _{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}$

Inferencia Estadística

Estimación de parámetros

Para determinar los estimadores por máxima verosimilitud de la distribución lognormal con parámetros ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, podemos utilizar el mismo método que se utilizó para estimar los parámetros de una distribución normal. Notemos que

${\displaystyle L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i})}$

donde ${\displaystyle \varphi }$ denota la función de densidad de la distribución normal ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ entonces la función logarítmica de verosimilitud es

${\displaystyle {\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},...,x_{n};\mu ,\sigma )=-\sum _{i}\ln x_{i}+{\mathcal {L}}_{N}(\ln x_{1},\ln x_{2},...,\ln x_{n};\mu ,\sigma )}$

Dado que el primer término es constante respecto a ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$, ambas funciones logarítmicas de verosimilitud, ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{N}}$, obtienen su máximo con el mismo ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \sigma }$, por lo tanto, utilizando los estimadores por máxima verosimilitud son idénticos a los de la distribución normal para observaciones ${\displaystyle \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}}$

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{k}\ln x_{k}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma ^{2}}}={\frac {\sum _{k}{\left(\ln x_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}$

Para una ${\displaystyle n}$ finita, estos estimadores son in sesgados.

Distribución log-normal ajustada a datos de lluvias máximas diarias por año.^[1]

Aplicación

• En la hidrología, se utiliza la distribución log-normal para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,^[2] y además para describir épocas de sequía.^[3]

La imagen azul ilustra un ejemplo del ajuste de la distribución log-normal a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial. Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Distribución relacionada

• Si ${\displaystyle X\sim \ N(\mu ,\sigma ^{2})}$ es una distribución normal entonces ${\displaystyle e^{X}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ entonces ${\displaystyle \ln(X)\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$.
• Si ${\displaystyle X_{m}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma _{m}^{2}),\ m={\overline {1...n}}}$ son variables independentes log-normalmente distribuidas con el mismo parámetro μ y permitiendo que varíe σ, y ${\displaystyle Y=\prod _{m=1}^{N}X_{m}}$, entonces Y es una variable distribuida log-normalmente como: ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Lognormal} \left(\mu ,\sum _{m}\sigma _{m}^{2}\right)}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})}$ entonces ${\displaystyle X^{\alpha }\sim \operatorname {Lognormal} (\alpha \mu ,\alpha ^{2}\sigma ^{2})}$ para ${\displaystyle \alpha \neq 0}$.

Véase también

• Distribución normal
• Media geométrica
• Desviación estándar
• Función error
• Análisis de frecuencia acumulada

Software

Se puede usar software o programa de computadora para el ajuste de una distribución de probabilidad, incluyendo la lognormal, a una serie de datos:

• Easy fit Archivado el 23 de febrero de 2018 en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• MathWorks Benelux (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R , Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting Archivado el 30 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
• CumFreq , libre sin costo, incluye la distribución normal, la lognormal, raíz-normal, cuadrado-normal, e intervalos de confianza a base de la distribución binomial
• Calculadora Distribución log-normal