Forma normal de Cantor

Se dice que un número está expresado en la forma normal de Cantor en base b si lo representamos como suma de potencias de la base b, pero representamos también cada uno de los exponentes como suma de potencias. Veamos un ejemplo concreto:

La expresión del número 266 en forma normal de Cantor en base 2 es la siguiente

${\displaystyle 266=2^{8}+2^{3}+2=2^{2^{2+1}}+2^{2+1}+2}$

Números ordinales

La forma normal de Cantor también se puede aplicar a números ordinales transfinitos, en particular cualquier ordinal (finito o infinito) ${\displaystyle \alpha >0}$ puede expresarse como una suma finita:^[1]

${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}\cdot k_{1}+\omega ^{\beta _{2}}\cdot k_{2}+\dots +\omega ^{\beta _{n}}\cdot k_{n}}$

siendo ${\displaystyle \omega }$ el primer ordinal infinito, ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle \alpha \geq \beta _{1}>\beta _{2}>\dots >\beta _{n}}$ y ${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}$ números naturales diferentes de cero. Nótese que el orden la suma y la multiplicación son importantes ya que con ordinales infinitos puede darse el caso de que ${\displaystyle \alpha +\beta \neq \beta +\alpha }$ o ${\displaystyle \alpha \cdot \beta \neq \beta \cdot \alpha }$, por ejemplo:

${\displaystyle 1+\omega =\omega <\omega +1,\qquad 2\cdot \omega =\omega <\omega \cdot 2=\omega +\omega }$

Además en a fórmula puede darse el caso de ${\displaystyle \alpha =\beta _{1}}$, es decir:

${\displaystyle \alpha =\omega ^{\alpha }}$

En particular, todos los números épsilon admiten una representación de esta forma.

Véase también

• Sucesión de Goodstein