Grupo resoluble

En la teoría de grupos, un grupo resoluble (o soluble) es un grupo que se construye a partir de grupos abelianos usando extensiones de grupo. Equivalentemente, un grupo resoluble es un grupo cuya serie derivada se termina en el subgrupo trivial.

Definición

Un grupo finito G se dice resoluble (o soluble) si existe una cadena finita de subgrupos ${\displaystyle \{G_{i}\}_{i=1}^{n}\subset G}$ tal que:

${\displaystyle \{1_{G}\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \dots \subseteq G_{n}=G,}$

donde para cada ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n-1}$ se cumple que:

• ${\displaystyle G_{i}}$ es subgrupo normal en ${\displaystyle G_{i+1}}$, notado usualmente como ${\displaystyle G_{i}\triangleleft G_{i+1}}$.

• El grupo cociente ${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$ es abeliano.

A la anterior cadena, cuando exista, se le suele denominar torre, según Serge Lang.

Otra forma de definir la solubilidad de un grupo es a partir de los subgrupos conmutadores. Definimos ${\displaystyle G^{(0)}=G}$ y ${\displaystyle G^{(i+1)}=[G_{i},G_{i}]}$. Tendremos entonces una sucesión decreciente de subgrupos, a la que llamamos serie derivada:

${\displaystyle G=G^{(0)}\supseteq G^{(1)}\supseteq G^{(2)}\dots ,}$ donde ${\displaystyle G^{(i+1)}\vartriangleleft G^{(i)}}$ para todo i.

El grupo es soluble si existe ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ tal que ${\displaystyle G^{(n)}=\{1_{G}\}}$.

Las dos definiciones son equivalentes porque dados un grupo ${\displaystyle J}$ y un subgrupo normal ${\displaystyle N\vartriangleleft J}$, se tiene que ${\displaystyle J/N}$ es abeliano si y solo si ${\displaystyle [J,J]\subseteq N}$.

Ejemplos

• Todo grupo abeliano es resoluble, ya que ${\displaystyle \{1\}\subseteq G}$ y ${\displaystyle 1\triangleleft G}$, dado que ${\displaystyle x\cdot 1_{G}\cdot x^{-1}\in \{1_{G}\}}$ y además ${\displaystyle G/\{1\}\simeq G}$, por lo que es abeliano.

• ${\displaystyle S_{3}}$ es resoluble. Basta ver que ${\displaystyle 1\triangleleft A_{3}\triangleleft S_{3}}$ es una torre abeliana, con ${\displaystyle A_{n}}$ el grupo alternado para ${\displaystyle S_{n}}$.

• ${\displaystyle A_{4}}$ es resoluble. Basta ver que ${\displaystyle 1\triangleleft V\triangleleft A_{4}}$, es una torre abeliana de ${\displaystyle A_{4}}$, donde ${\displaystyle V=\{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$.

• ${\displaystyle S_{4}}$ es resoluble. Se puede ver que ${\displaystyle 1\triangleleft V\triangleleft A_{4}\triangleleft S_{4}}$ es una torre abeliana de ${\displaystyle S_{4}}$.

• ${\displaystyle A_{5}}$ es un grupo no resoluble, ya que se conoce que ${\displaystyle A_{5}}$ es simple, por lo que la única cadena posible es ${\displaystyle 1\triangleleft A_{5}}$, pero ${\displaystyle A_{5}}$ no es abeliano, dado que ${\displaystyle (12)(34)(345)\neq (345)(12)(34)}$.

Propiedades

• Si ${\displaystyle G}$ es un grupo soluble y ${\displaystyle f:G\to H}$ es un homomorfismo de grupos entonces ${\displaystyle f(G)}$ es soluble. Esto es equivalente, gracias al primer teorema de isomorfismos, a que si ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$ y ${\displaystyle G}$ es soluble entonces ${\displaystyle G/N}$ es soluble.

• Si ${\displaystyle G}$ es soluble y ${\displaystyle H\leq G}$ entonces ${\displaystyle H}$ es soluble.

• Si ${\displaystyle N\vartriangleleft G}$ verifican que tanto ${\displaystyle N}$ como ${\displaystyle G/N}$ son solubles entonces ${\displaystyle G}$ es soluble.

• De las propiedades anteriores podemos deducir que el producto directo ${\displaystyle G\times H}$ es soluble si y solo si ${\displaystyle G}$ y ${\displaystyle H}$ lo son.

Importancia

Está ligado a la teoría de Galois y a la resolución de ecuaciones algebraicas. Un teorema importante en ese sentido es:

Un polinomio g sobre K (con característica 0) es resoluble por radicales si y solo si su grupo de Galois sobre K es soluble.^[1]