Imagen inversa

La imagen inversa, antiimagen o contraimagen de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto.^[1] Es una aplicación que a un conjunto le hace corresponder otro conjunto.

Definición

Sea ${\displaystyle \textstyle f:{\mbox{A}}\longrightarrow {\mbox{B}}}$ una aplicación e ${\displaystyle \textstyle {\mbox{Y}}\subset {\mbox{B}}}$. La imagen inversa de ${\displaystyle \textstyle Y}$ se define como sigue:

${\displaystyle f^{-1}(Y)\quad =\quad \lbrace \quad x\in A\quad |\quad \exists y\in Y\quad ,\quad f(x)=y\quad \rbrace }$

Propiedades

La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:

Unión

${\displaystyle \forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cup {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cup f^{-1}({\mbox{Z}})}$

Intersección

${\displaystyle \forall Y,Z\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}\cap {\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})\cap f^{-1}({\mbox{Z}})}$

Complementario^[2]

${\displaystyle \forall Y\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{B}}-{\mbox{Y}})={\mbox{A}}-f^{-1}({\mbox{Y}})}$

Diferencia de conjuntos

${\displaystyle \forall {\mbox{Y}},{\mbox{Z}}\subset {\mbox{B}}\quad f^{-1}({\mbox{Y}}-{\mbox{Z}})=f^{-1}({\mbox{Y}})-f^{-1}({\mbox{Z}})}$

Aplicaciones

La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida.