Operación externa

Se dice que una operación matemática es una operación externa en una operación binaria si la aplicación entre los conjuntos es de la forma:

1. ${\displaystyle \star$ :\;B\times A\to A\;} , ley de composición externa a la izquierda
2. ${\displaystyle \star$ :\;A\times B\to A\;} , ley de composición externa a la derecha^[1]
3. ${\displaystyle \star$ :\;A\times A\to B\;}
4. ${\displaystyle \star$ :\;A\times B\to C\;} ,

Árbol de clasificación

siendo ${\displaystyle \star }$ la operación binaria, que representamos:

${\displaystyle a\star b\;\to \;c\;,\quad \star (a,b)\;\to \;c\;,\quad (a,b)\;{\xrightarrow {\star }}\;c}$

por oposición a la forma de la aplicación:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc$ :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}

Donde a cada par ordenado (a,b) le corresponde un c, siendo a, b y c elementos de A. Que se denomina Operación interna o ley de composición interna.

Primer caso

Dada una Operación binaria de la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$ :&B\times A&\longrightarrow &A\\&(k,a)&\longmapsto &b=k\star a\end{array}}}

donde a cada par ordenado:

${\displaystyle (k,a)\in B\times A\;}$

se le asocia un elemento

${\displaystyle b\in A}$

En este caso se denomina ley de composición externa a la izquierda; los elementos de B, son para los elementos de A,operadores o multiplicadores a la izquierda.^[2]

Ejemplo

Tomando el conjunto R de números reales, y el conjunto V3 de los vectores de tres dimensiones, y la operación del producto de un escalar por un vector:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\cdot$ :&\mathbb {R} \times V_{3}&\longrightarrow &V_{3}\\&(k,{\vec {a}})&\longmapsto &{\vec {b}}=k\cdot {\vec {a}}\end{array}}}

donde un vector:

${\displaystyle {\vec {a}}=(x,y,z)}$

multiplicado por un escalar k de R:

${\displaystyle {\vec {b}}=k\cdot {\vec {a}}=k\cdot (x,y,z)=(kx,ky,kz)}$

Tercer caso

Dada una operación binaria de la forma:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\star$ :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}}

donde a cada par ordenado:

${\displaystyle (a,b)\in A^{2}\;}$

le corresponde un elemento:

${\displaystyle c\in B}$

también es una operación externa.

Ejemplo

Dado el conjunto V3 de vectores en el espacio y el conjunto R de números reales, y la aplicación Producto escalar de vectores:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circ$ :&V_{3}\times V_{3}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&({\vec {a}},{\vec {b}})&\longmapsto &c={\vec {a}}\circ {\vec {b}}\end{array}}}

Cuya operación representamos:

${\displaystyle {\vec {a}}\circ {\vec {b}}=c}$

dados los vectores:

${\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})}$

${\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})}$

el producto escalar de los dos vectores es:

${\displaystyle c={\vec {a}}\circ {\vec {b}}=(a_{x},a_{y},a_{z})\circ (b_{x},b_{y},b_{z})=a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}}$

que es un valor real.

La diferencia de números naturales es una operación externa, dado que los operandos naturales el resultado siempre será un entero.

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a-b\end{array}}}$

En la forma de la operación:

${\displaystyle c=a-b\;}$

Para todo par ordenado (a,b) de números naturales, a su diferencia le corresponde un número c, entero, siendo c = a-b, es una aplicación matemática.

Véase también

• Operación matemática
• Relación matemática
• Correspondencia matemática