Operador lineal continuo

En análisis funcional y en relación con las áreas de las matemáticas, un operador lineal continuo o aplicación lineal continua es una continua transformación lineal entre espacios vectoriales topológicos . Un operador entre dos espacios normados es un operador lineal acotado si y solo si es un operador lineal continuo.^[1]

Propiedades

Un operador lineal mapea conjuntos continuos acotados a conjuntos acotados. Un funcional lineal es continua si y sólo si su núcleo está cerrado. Cada función lineal en un espacio de dimensión finita es continua.

Los siguientes son equivalentes: dado un operador lineal A entre espacios topológicos X e Y:

1. A es continua en 0 en X.
2. A es continua en algún momento en X.
3. A es continua en todas partes en X.

La prueba utiliza el hecho de que la traducción de un abierto de un espacio topológico lineal es de nuevo un conjunto abierto, y la igualdad

${\displaystyle A^{-1}(D)+x_{0}=A^{-1}(D+Ax_{0})\,\!}$

para cualquier conjunto D en Y y cualquier x 0 en X, lo cual es cierto debido a la aditivita de A.