Punto estacionario

Un punto estacionario^[1] de una función de una variable real:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&\mathbb {R} &\longrightarrow &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &y=f(x)\end{array}}}$

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es un número ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ donde la derivada de ${\displaystyle f}$ es cero.^[2][3][4] Si la función ${\displaystyle f}$ es derivable y tiene un extremo local en un punto, ese punto estará entre sus puntos estacionarios.

Igualmente, un punto estacionario de una función ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ de varias variables reales, es un punto ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ donde se anulan simultáneamente todas sus derivadas parciales.^[5][6] Si la función ${\displaystyle f}$ es diferenciable, los puntos donde tiene un extremo están entre los puntos estacionarios de la función.

Ejemplos

Función continua y derivable en a

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\cfrac {dy}{dx}}=0}$

Función creciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Para x < a es Función cóncava.

Para x > a es Función cóncava.

Para x = a: máximo relativo.

---

Función continua y derivable en a

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\cfrac {dy}{dx}}=0}$

Función creciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Para x < a es Función cóncava.

Para x > a es Función convexa.

Para x = a: Punto de inflexión.

---

Función continua y derivable en a

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\cfrac {dy}{dx}}=0}$

Función decreciente para x < a.

Función decreciente para x > a.

Para x < a es Función convexa.

Para x > a es Función cóncava.

Para x = a: Punto de inflexión.

---

Función continua y derivable en a

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=f(a)}$

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\cfrac {dy}{dx}}=0}$

Función decreciente para x < a.

Función creciente para x > a.

Para x < a es Función convexa.

Para x > a es Función convexa.

Para x = a: mínimo relativo.

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Véase también

Punto crítico

Punto fronterizo

Punto singular

Punto de inflexión

• Extremos de una función
• Singularidad matemática
• Clasificación de discontinuidades
• Criterio de la primera derivada
• Criterio de la segunda derivada
• Criterio de la tercera derivada
• Criterio de la derivada de mayor orden
• Punto de silla

Enlaces externos

Introducción a los métodos matemáticos de optimización

CLASIFICACIÓN DE LOS PUNTOS CRÍTICOS DE UNA FUNCIÓN

EXTREMOS Y PUNTOS SILLA DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Universidad Nacional de La Plata Archivado el 13 de octubre de 2017 en Wayback Machine.

Máximos y mínimos de una función en un intervalo cerrado. UPV.

Extremos relativos de funciones de 2 variables. Universidad Politécnica de Catalunya Archivado el 20 de septiembre de 2009 en Wayback Machine.

Análisis Matemático II. María Inés Parnisari Archivado el 13 de octubre de 2017 en Wayback Machine.

Bibliografía

1. Saturnino L. Salas; Einar Hille; Garret J. Etgen (2003). Calculus 2 (4 edición). Editorial Reverte. ISBN 978-842-915-158-9.
2. Edwin Joseph Purcell; Steven E. Rigdon; Dale E. Varberg (2007). CALCULO (9 edición). Pearson Educación. ISBN 978-970-260-919-3.
3. Francisco Javier Ortiz Cerecedo; Francisco José Ortiz Campos; Fernando José Ortiz Cerecedo (2015). Cálculo Diferencial (1 edición). Grupo Editorial Patria. ISBN 978-607-744-239-4.