Submatriz

En matemáticas, una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de una matriz más grande. También podemos definirla como un arreglo rectangular que se encuentra en subconjuntos específicos de las filas y columnas de la matriz dada.

Definición

Sea ${\displaystyle A}$ una matriz ${\displaystyle n\times m}$ y sean ${\displaystyle I_{A}=\{1,2,...,n\}}$ y ${\displaystyle J_{A}=\{1,2,...,m\}}$ los conjuntos de índices de las filas y columnas de ${\displaystyle A}$ respectivamente. Definimos ${\displaystyle B}$ una submatriz de ${\displaystyle A}$ como la matriz resultante de escoger ${\displaystyle I_{B}\subseteq I_{A}}$ y ${\displaystyle J_{B}\subseteq J_{A}}$, donde ${\displaystyle I_{B}}$ y ${\displaystyle J_{B}}$ serán los índices de las filas y columnas de la matriz ${\displaystyle B}$. Es decir, las filas y columnas de ${\displaystyle B}$ corresponden a las filas y columnas de ${\displaystyle A}$ con los índices en ${\displaystyle I_{B}}$ y ${\displaystyle J_{B}}$ respectivamente.^[1]

Por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}}}$

En este caso ${\displaystyle I_{A}=\{1,2,3\}}$ y ${\displaystyle J_{A}=\{1,2,3,4\}}$, si escogemos ${\displaystyle I_{B}=\{1,2\}}$ y ${\displaystyle J_{B}=\{1,3,4\}}$ obtenemos:

${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{23}&a_{24}\end{bmatrix}}}$

En este ejemplo si queremos referirnos a la submatriz ${\displaystyle B}$ sin necesidad de definirla entrada por entrada, usamos la siguiente notación, ${\displaystyle B=A[\{1,2\};\{1,3,4\}]}$. De manera general decimos que ${\displaystyle A[I_{B};J_{B}]}$ es la submatriz resultante de escoger ${\displaystyle I_{B}}$ y ${\displaystyle J_{B}}$ como conjunto de índices de las filas y columnas de la submatriz.

Submatriz principal

Una submatriz es principal cuando se escoge ${\displaystyle I_{B}=J_{B}}$, es decir los conjuntos de índices de las filas y columnas son iguales. Para facilitar la notación se escribe ${\displaystyle A[I_{B};I_{B}]=A[I_{B}]}$.

Por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\end{bmatrix}}}$

Tomando ${\displaystyle I_{B}=\{2,3\}}$.

${\displaystyle \mathbf {A} [\{2,3\}]={\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A[\{2,3\}]}$ es una submatriz principal de ${\displaystyle A}$.

Submatriz principal superior

Sea ${\displaystyle A}$ una matriz cuadrada de orden ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle I_{A}=\{1,\dots ,n\}}$ el conjunto de índices de ${\displaystyle A}$, si tomamos ${\displaystyle k\in I_{A}}$, la matriz principal ${\displaystyle A[\{1,\dots ,k\}]}$ es una submatriz principal superior de ${\displaystyle A}$.^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}}$

Tomando ${\displaystyle k=3}$:

${\displaystyle \mathbf {A} [\{1,2,3\}]={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A[\{1,2,3\}]}$ es una submatriz principal superior de ${\displaystyle A}$.

Submatriz principal inferior

Sea ${\displaystyle A}$ una matriz cuadrada de orden ${\displaystyle n}$ y ${\displaystyle I_{A}=\{1,\dots ,n\}}$ el conjunto de índices de ${\displaystyle A}$, si tomamos ${\displaystyle k\in I_{A}}$ , decimos que la matriz principal ${\displaystyle A[\{k,\dots ,n\}]}$ es una submatriz principal inferior de ${\displaystyle A}$.^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}}$

Tomando ${\displaystyle k=2}$:

${\displaystyle \mathbf {A} [\{2,3,4\}]={\begin{bmatrix}a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A[\{2,3,4\}]}$ es una submatriz principal inferior de ${\displaystyle A}$.

Véase también

• Menores principales