Teorema de Ptolomeo

El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.

Un cuadrilátero cumple con el Teorema de Ptolomeo si y solamente si es cíclico.

Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

${\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}}$

Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:

Teorema de Ptolomeo En todo cuadrilátero cíclico, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales. Claudio Ptolomeo

Demostraciones

Demostración geométrica

Demostración del teorema de Ptolomeo

1. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.
2. Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Ahora, por ángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y △ABD ∼ △KBC
4. Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,
   1. Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;
   2. Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   3. Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Note que la demostración es válida solo para cuadriláteros concíclicos simples. Si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe una generalización de este teorema llamado el teorema de Casey, que involucra a cuatro circunferencias no secantes y tangentes interiores a una quinta.

El teorema de Ptolomeo se puede demostrar con métodos de inversión geométrica con respecto a cualquier vértice de un cuadrilátero.^[1]

Ejemplo

La razón dorada se obtiene de la aplicación del teorema de Ptolomeo

Considérese un pentágono regular y la circunferencia circunscrita al mismo. En el cuadrilátero ABCD las diagonales son iguales al lado AD. El teorema de Ptolomeo arroja en este caso,

${\displaystyle b^{2}=ab+a^{2}.\ }$

Dividiendo entre ${\displaystyle a^{2}}$ se tiene

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=1+{\frac {b}{a}}.\ }$

Denotando con ${\displaystyle \varphi }$ la razón b/a se obtiene ${\displaystyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$, ecuación que coincide con la definición del número áureo.

${\displaystyle \varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}}$.