Teorema de Routh

Para otros usos de este término, véase Teorema de Routh-Hurwitz.

En geometría, el teorema de Routh^[1] determina la relación de áreas entre un triángulo dado y un triángulo formado por la intersección de tres cevianas (una por cada vértice).

El teorema de Routh permite calcular el área del triángulo ΔGHI (en rojo), formado por las tres cevianas AD, BE y CF.

Nomenclatura

Sea un triángulo cualquiera ΔABC (el exterior, amarillo en el gráfico), en cuyos lados AB, BC y CA se han marcado los puntos F, D y E, siendo estos tres últimos pies cualesquiera de las cevianas AD, BE y CF.

Los puntos I, G y H conforman al triángulo interior ΔIGH (color rojo el en el gráfico). Donde I, G y H son los puntos de intersección de las cevianas (AD con CF), (AD con BE) y (BE con CF).

${\displaystyle I=AD\cap CF,\quad G=AD\cap BE,\quad H=BE\cap CF}$

Denominando a las razones de los respectivos segmentos de cada lado como r, s y t:

${\displaystyle {\overline {AF}}/{\overline {BF}}=r}$

${\displaystyle {\overline {BD}}/{\overline {CD}}=s}$

${\displaystyle {\overline {CE}}/{\overline {AE}}=t}$

Llamando a las áreas de los triángulos ΔABC y ΔIGH respectivamente como A_ABC y A_IGH.

Enunciado del teorema

Con la nomenclatura antes mencionada, el teorema de Routh afirma que el área del triángulo ΔIGH es:

${\displaystyle A_{IGH}={\frac {(r\cdot s\cdot t-1)^{2}}{(s\cdot t+s+1)(r\cdot t+t+1)(r\cdot s+r+1)}}\;A_{ABC}.}$

El teorema de Ceva puede ser considerado como un caso especial del teorema de Routh. En el caso especial de que las tres cevianas AD, BE y CF se intersequen en un solo punto, entonces el área del triángulo ΔIGH es 0. Se puede concluir que ( r s t = 1 ), lo cual es justamente el enunciado del teorema de Ceva.

Véase también

• Teorema de Stewart
• Teorema de Ceva
• Teorema de Routh-Hurwitz
• Triángulo

Enlaces externos

• Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
• Routh's Theorem, Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.