Injektiivne funktsioon

Injektiivne funktsioon ehk injektiivne kujutus ehk injektsioon ehk üksühene kujutus on funktsioon ${\displaystyle f:X\to Y}$, mille korral sihthulga ${\displaystyle Y}$ iga elemendi ${\displaystyle y}$ puhul on olemas ülimalt üks (võib-olla mitte ühtegi) lähtehulga ${\displaystyle X}$ element ${\displaystyle x}$, millele funktsioon teda vastavusse seab (${\displaystyle f(x)=y}$), ehk teiste sõnadega, mille korral lähtehulga kahele eri elemendile ei seata kunagi vastavusse sihthulga üht ja sedasama elementi. Injektiivne funktsioon on injektiivse seose erijuht.

See artikkel räägib matemaatika mõistest; geoloogia mõiste kohta vaata artiklit Injektsioon (geoloogia); teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Injektsioon (täpsustus)

---

Joonis illustreerib injektsiooni: hulga Y igal element on ülimalt üks originaal: elementidel A, B ja D on igaühel üks originaal, elemendil C ei ole ühtegi originaali.

Injektiivse funktsiooni sihthulgal ei saa olla väiksem võimsus kui lähtehulgal, sest muidu ei jätkuks sihthulgas kõigi lähtehulga elementide jaoks elemente.

Injektiivse funktsiooni kujutis ${\displaystyle \{f(x)|x\in X\}}$ võib olla sihthulga ${\displaystyle Y}$ pärisalamhulk. Teiste sõnadega, võib olla elemente ${\displaystyle y\in Y}$, mis ei ole kujutised ${\displaystyle f(x)}$, (nii on ka joonisel). Selle poolest erineb injektiivne funktsioon bijektiivsest funktsioonist, mille puhul peale injektiivsuse nõutakse veel, et sihthulga iga element on kujutis ${\displaystyle f(x)}$.

Funktsiooni ${\displaystyle f:X\to Y}$ injektiivsust tähistatakse mõnikord märgiga ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y}$, mis on koostatud märkidest ${\displaystyle \subset }$ ja ${\displaystyle \to }$. See meenutab hulga ${\displaystyle X}$ sisestamist ülemhulka ${\displaystyle Y}$ funktsiooni ${\displaystyle f:X\to Y}$ abil, mis kujutab hulga ${\displaystyle X}$ iga elemendi temaks endaks: ${\displaystyle f(x)=x}$ .

Formaalsed definitsioonid

Olgu ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ hulgad ning ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$ funktsioon hulgast ${\displaystyle X}$ hulka ${\displaystyle Y}$.
Järgmised definitsioonid on samaväärsed:

• Funktsiooni ${\displaystyle f}$ nimetatakse injektiivseks, kui iga ${\displaystyle y}$-i korral hulgast ${\displaystyle Y}$ eksisteerib ülimalt üks ${\displaystyle x}$ hulgast ${\displaystyle X}$, nii et ${\displaystyle f(x)=y}$. ("Ülimalt üks" tähendab 'mitte ühtegi või täpselt üks, kuid mitte rohkem.)
  Formaalselt: ${\displaystyle \forall y\in Y\ (\exists !x\in X\colon \,f(x)=y\vee \neg (\exists x\in X\colon \,f(x)=y)).}$

• Funktsiooni ${\displaystyle f}$ nimetatakse injektiivseks, kui funktsiooni väärtuste (muutuja ${\displaystyle y}$ väärtuste) võrdusest järeldub funktsiooni argumendi ${\displaystyle x}$ väärtuste võrdus.
  Formaalselt: ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})}$

• Funktsiooni ${\displaystyle f}$ nimetatakse injektiivseks, kui argumendi ${\displaystyle x}$ erinevad väärtused kujutatakse alati erinevateks funktsiooni väärtusteks.
  Formaalselt: ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))}$
  

Kui injektiivsuse tõestamiseks kasutatakse kolmandat tõestust, viib see sageli vastuväitelise tõestuseni. Otsene tõestus teise definitsiooni abil võib olla elegantsem ja lühem.

Näiteid ja mittenäiteid

Mitteinjektiivne funktsioon

• Iga funktsioon ${\displaystyle \{\bullet ,\bullet \}\to \{\bullet \}}$ kaheelemendilisest hulgast üheelemendilisse hulka on mitteinjektiivne.
• Mittematemaatiline näide. Funktsioon, mis seab igale Eesti isikukoodiga inimesele vastavusse tema isikukoodi, on injektiivne, kusjuures sihthulgaks võetakse kõigi isikukoodiks kõlblike arvude hulk. (Eeldame, et ühtki isikukoodi ei rakendata mitu korda.)
• Olgu ${\displaystyle \mathbb {N} }$ naturaalarvude hulk ja ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ täisarvude hulk.

Funktsioon ${\displaystyle f_{1}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\,x\mapsto 2x}$ on injektiivne.

Funktsioon ${\displaystyle f_{2}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto 2x}$ on injektiivne.

Funktsioon ${\displaystyle f_{3}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\,x\mapsto x^{2}}$ on injektiivne.

Funktsioon ${\displaystyle f_{4}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto x^{2}}$ ei ole injektiivne, sest näiteks ${\displaystyle f(1)=f(-1)}$.

Omadused

Injektiivsus sõltub ainult graafikust

Funktsiooni ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$ injektiivsus sõltub ainult graafikust ${\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}}$ (erinevalt sürjektiivsusest, mis sõltub ka sihthulgast ${\displaystyle B}$, mille üle graafiku järgi ei saa otsustada).

Injektiivsuse tunnused

Funktsioon ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$ on injektiivne parajasti siis, kui kõikide alamhulkade ${\displaystyle X,Y\subseteq A}$ korral ${\displaystyle f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)\!\,}$.

Funktsioon ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$ on injektiivne parajasti siis, kui kõikide ${\displaystyle T\subset A}$ korral ${\displaystyle f^{-1}{\big (}f(T){\big )}=T}$.

Kategooriateooriaga seotud omadused

Kui funktsioonid ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$ ja ${\displaystyle g\colon \,B\to C}$ on injektiivsed, siis ka nende funktsioonide kompositsioon ${\displaystyle g\circ f\colon \,A\to C}$ on injektiivne.

Kui ${\displaystyle g\circ f}$ on injektiivne, siis ${\displaystyle f}$ on injektiivne.

Funktsioon ${\displaystyle f\colon \,A\to B}$, mille lähtehulk ${\displaystyle A}$ on mittetühi, on injektiivne parajasti siis, kui funktsioonil ${\displaystyle f}$ on vasakpoolne pöördelement, st funktsioon ${\displaystyle g\colon \,B\to A}$ mille korral ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{A}}$, kus ${\displaystyle \operatorname {id} _{A}}$ on samasuskujutus hulgal ${\displaystyle A}$. Hulkade kategoorias Set tähendab see tingimus, et injektsioonid on selle kategooria vasakult pööratavad morfismid ehk koretraktsioonid.