Eksponentfunktsioon

Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul

${\displaystyle \mathrm {Exp} (z)=e^{z}\,,}$

kus e on Euleri arv. Eksponentfunktsioon on naturaallogaritmi pöördfunktsioon.

Eksponentfunktsiooniks nimetatakse üldisemalt ka funktsiooni^[1]

${\displaystyle ca^{z}\,,}$

kus a on positiivne konstant ja c on nullist erinev kordaja.

Omadused

Olgu z ja w kompleksarvud

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}\,,}$
• ${\displaystyle e^{0}=1\,,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0\,,}$
• ${\displaystyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}\,,}$
• ${\displaystyle \,(e^{z})^{n}=e^{nz},n\in \mathbb {Z} \,.}$

Juhul, kui z ja w on reaalarvud, kehtib

• ${\displaystyle \,(e^{z})^{w}=e^{zw}\,.}$

Formaalne definitsioon

Eksponentfunktsiooni saab tervel komplekstasandil defineerida astmereana

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Seda astmerida nimetatakse eksponentreaks. Seda rida saab kasutada eksponentfunktsiooni üldistamiseks juhule, kus z on ruutmaatriks või üldisemalt mõni Banachi algebra element.

Samaväärselt võib eksponentfunktsiooni defineerida

• piirväärtusena

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

• integraalvõrrandi

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{dt \over t}.}$

lahendina

• või diferentsiaalvõrrandi

${\displaystyle \,{d \over dx}y(x)=y(x),\quad y(0)=1}$

lahendina.

Seos trigonomeetriliste funktsioonidega

Euleri valem

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),\,}$

seob eksponentfunktsiooni trigonomeetriliste funktsioonidega.

Vaata ka

• Astendaja ehk eksponent
• Hüperboolsed funktsioonid
• Astmefunktsioon