Lineaarkujutus

Matemaatikas nimetatakse lineaarkujutuseks ehk lineaarseks operaatoriks vektorruumide homomorfismi. Vektorruumide endomorfismi nimetatakse vektorruumi lineaarteisenduseks.

Definitsioon

Olgu K korpus ja V ning W vektorruumid üle K. Kujutust f, mis kujutab ruumi V elemendi mõnele ruumi W elemendile, nimetatakse (vektorruumide) homomorfismiks ehk lineaarkujutuseks, kui

• ${\displaystyle f(\mathbf {v} +\mathbf {u} )=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {u} )}$,
• ${\displaystyle f(c\mathbf {v} )=cf(\mathbf {v} )}$,

kus c ∈ K on skalaar.

Kui ruumid V ja W ühtivad, siis nimetatakse teisendust f lineaarteisenduseks. ^[1]

Tähistus

Lineaarkujutuse jaoks kasutatakse mitmesuguseid tähistusi. Seda võib tähistada väikese ladina või kreeka tähega, näiteks f, nagu tähistatakse funktsioone. Levinud on ka tähistus suure ladina tähega A, kusjuures lineaarkujutuse väärtust punktis v, tähistatakse kui Av (mitte A(v)).

Kõikide lineaarkujutuste hulka vektorruumist V (üle K) vektorruumi W (üle K) tähistatakse Hom_K(V,W). Vektorruumi V (üle K) lineaarteisenduste hulka tähistatakse End_K(V).

Omadused

Lineaarteisenduste A ja B vahel saab defineerida liitmise

${\displaystyle (A+B)\mathbf {v} =A\mathbf {v} +B\mathbf {v} }$

ja korrutamise

${\displaystyle A(B\mathbf {v} )=(AB)\mathbf {v} }$.

Saab näidata, et End_K(V) on nende tehete suhtes assotsiatiivne ühikelemendiga ring.

Näited

• Näiteks m×n-järku maatriks kujutab endast lineaarset operaatorit m-mõõtmelisest vektorrruumist n-mõõtmelisse vektorruumi.