From Wikipedia, the free encyclopedia
Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve (tavaliselt reaalarve või kompleksarve) või mingeid muid etteantud hulka kuuluvaid matemaatilisi objekte, näiteks polünoome, funktsioone, diferentsiaale, vektoreid. Objekte, mida tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks.
See artikkel räägib matemaatika mõistest; muude tähenduste kohta vaata artiklit Maatriks (täpsustus). |
See artikkel vajab toimetamist. (Veebruar 2008) |
Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada: nad moodustavad korpuse või üldisemalt ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Tehted maatriksitega defineeritakse maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu.
Et osutada sellele, kust maatriksi elemendid võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse maatriksiks üle reaalarvude korpuse).
Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel.
Maatrikseid uurib maatriksite teooria.
Maatriksi üldistus on hüpermaatriks, millel võib olla rohkem mõõtmeid kui 2.
Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve või muid matemaatilisi objekte. Näiteks
on maatriks. Objekte, mida maatriksi kui tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks ehk maatriksi komponentideks.
Maatriksi mõõtmed määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatriksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Positiivsete täisarvude järjestatud paari m × n nimetatakse 'maatriksi järguks[1] ehk mõõtmeteks ehk dimensiooniks ehk suuruseks ning arve m ning n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4 × 3 maatriksit. (Mõnikord vaadeldakse ka lõpmatuid maatrikseid, millel on lõpmata palju ridasid ja veerge, ja tühje maatrikseid, mille ridade arv või veergude arv või mõlemad on 0.)
Maatriksit, mille ridade arv võrdub veergude arvuga, nimetatakse ruutmaatriksiks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n.
Maatriksit, mille üks mõõtmetest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × n ja m × 1 nimetatakse vastavalt reavektoriteks ja veeruvektoriteks. Näiteks
on 1 × 3 reavektor.
Elemendi kohta, mis asub maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal i-j.
Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega ning elemente tavaliselt väikeste ladina või kreeka tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava alaindeksiga (näiteks a11 või a1,1, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. m × n maatriksit
esitatakse lühidalt üldelemendi aij abil: või ka , kui . Kasutusel on ka tähistus, mille puhul maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga kui maatriksit ennast, näiteks (A)ij või ka sulgudeta Aij. Maatriksite eristamiseks teistest objektidest kasutatakse ka näiteks rasvast kirja (A) või kahekordset allakriipsutamist ().
Maatriksi A elementi i-ndas reas ja j-ndas veerus nimetatakse mõnikord maatriksi i,j-elemendiks või (i, j) elemendiks ning tähistatake tavaliselt ai,j või aij, mõnikord A[i,j] või Ai,j. Näiteks järgneva maatriksi A (1, 3) element (a13, a1,3, A[1,3], A1,3) on 5:
Mõnikord antakse maatriksi elemendid valemiga: ai,j = f(i, j). Näiteks järgneva maatriksi A elemendid on antud valemiga aij = i − j.
Sel juhul antakse maatriks ise mõnikord selle valemiga nurksulgudes või topeltsulgudes, näiteks siinsel juhtumil A = [i−j] või A = ((i−j)). Kui maatriksi mõõtmed on m × n, siis valem f(i, j) kehtib, kui i = 1, ..., m ja j = 1, ..., n. Seda võib eraldi mainida või anda m × n alakirjas, meie juhtumil A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4) või A = [i − j]3×4.
Maatriksi ridu ja veerge tähistatakse mõnikord tärni abil, näiteks ai,∗ on maatriksi A i-s rida ja a∗,j on maatriksi A j-s veerg.
Maatrikseid, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiteks üle ringi R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatriksiteks üle reaalarvude korpuse või üle reaalarvude.
Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine.
Tehe | Definitsioon | Näide |
---|---|---|
Liitmine | Olgu A ja B m × n maatriksid üle ringi R. Siis A ja ''B summa A+B vahel leitakse elementhaaval:
|
|
Skalaariga korrutamine | Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c:
|
|
Transponeerimine | m × n maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n × m maatriks, mis saadakse veergude ja ridade äravahetamisel:
|
Skalaariga korrutamise omadused ja liitmise omadused (assotsiatiivsus ja kommutatiivsus) ringis kanduvad üle maatriksite liitmisele: näiteks A + B = B + A.
Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui (cA)T = c(AT) ja (A + B)T = AT + BT. Veel kehtib (AT)T = A.
Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui A on m × n maatriks ja B on n × p siis AB on m × p maatriks, mille elemendid on
iga i = 1,2 ... m ja j = 1,2 ... p korral.
Näiteks
ja sarnaselt
Maatriksite korrutamine on:
Kui korrutis AB on defineeritud, ei pruugi korrutis BA defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis, kui AB ja BA on defineeritud, ei pruugi need korrutised võrdsed olla, st üldjuhul
st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.
Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatrksit B, mis rahuldab tingimust
kus I on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga . Ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev ehk kui see on regulaarne. Maatriksi A pööramiseks nimetatakse tehet, mis seisneb ülalantud tingimust rahuldava maatriksi B leidmises.
Maatriksid tekivad loomulikul moel lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel ja lineaarteisenduste vaatlemisel.
Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi kujul:
See süsteem koosneb lineaarvõrrandist tundmatuga. Selle võib esitada järgmise maatriksvõrrandina:
kus
Maatriks on lineaarvõrrandisüsteemi koefitsientide maatriks, veeruvektor on tundmatute vektor ja veeruvektor on mingi etteantud vektor.
Selleks et süsteemil oleks (vähemalt üks) lahend, on tarvilik ja piisav, et vektor oleks maatriksi lineaarkombinatsioon, ja siis vektor on koefitsientide vektor vektori lahutuseks maatriksi veergude järgi.
Maatriksite keeles saab lineaarvõrrandisüsteemi lahenduvuse tingimuse formuleerida Kroneckeri-Capelli teoreemina:
Tähtis erijuht. Kui võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga ( ehk on ruutmaatriks), siis ühese lahenduvuse tingimus on ekvivalentne maatriksi pööratavusega.
(Märkus. Süsteemi lahenduvusest ei järeldu veel, et maatriks ei ole kõdunud. Näide: .)
Kui maatriks on pöötatav, siis süsteemi lahend on
Sellest tuleneb Crameri meetod.
Vaatleme lineaarkujutust -mõõtmelisest vektorruumist -mõõtmelisse vektorruumi , millel on järgmine kuju:
Maatrikskujul on see
kus maatriks on lineaarkujutuse koefitsientide maatriks.
Kui vaadelda lineaarkujutuse mõju vektoritele kujul
mis moodustavad vektorruumi baasi, siis on maatriksi -s veerg.
Niisiis kirjeldab maatriks lineaarkujutust täielikult, ja sellepärast nimetatakse seda selle lineaarkujutuse maatriksiks.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.