Nullelement

Nullelemendiks nimetatakse algebras arvule 0 omadustelt sarnast elementi, kusjuures täpne tähendus oleneb kontekstist.

Nullelementi defineeritakse tavaliselt kui elementi, mis sarnaneb arvuga 0 selle poolest, et temaga liitmisel (või tehe, mis on liitmise üldistus) saadakse (olenemata liidetavate järjekorrast) summaks teine liidetav, või selle poolest, et temaga korrutamisel (või tehte puhul, mis on korrutamise üldistus) saadakse (olenemata tegurite järjekorrast) korrutiseks tema ise, või mõlema omaduse poolest. Kui nullelemendil on esimene omadus, nimetatakse teda aditiivseks nullelemendiks; kui tal on teine omadus, nimetatakse teda multiplikatiivseks nullelemendiks. Arv 0 on tavalise arvude (täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude, kompleksarvude) liitmise ja korrutamise suhtes aditiivne ja multiplikatiivne nullelement.

Multiplikatiivne nullelement

Olgu antud mingi binaarne tehe ${\displaystyle *}$ hulgal ${\displaystyle H}$. Siis nimetatakse (multiplikatiivseks) nullelemendiks hulga ${\displaystyle H}$ elementi ${\displaystyle n}$, mille puhul hulga ${\displaystyle H}$ mis tahes elemendi ${\displaystyle a}$ korral kehtivad võrdused

(1) ${\displaystyle n*a=n}$

ja

(2) ${\displaystyle a*n=n}$.

Nullelemendi ainsus

Teoreem. Kui nullelement eksisteerib, siis ta on ainus.

Tõestus. Olgu meil kaks nullelementi ${\displaystyle n}$ ja ${\displaystyle N}$. Siis võrduse (1) põhjal

${\displaystyle n*N=n}$

ja võrduse (2) põhjal

${\displaystyle n*N=N}$.

Järelikult

${\displaystyle n=N}$,

nii et nullelemendid langevad kokku.

Näiteid

Tavalise arvude (naturaalarvude, täisarvude, ratsionaalarvude, reaalarvude korrutamise suhtes on arv 0 nullelement.

Vektorite vektorkorrutise suhtes kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis on nullvektor nullelement.

Hulkade ühisosa suhtes on tühi hulk nullelement.

Aditiivne nullelement

Liitmise ning mis tahes aditiivselt tähistatud binaarse tehte puhul nimetatakse nullelemendiks ühikelementi ehk neutraalset elementi 0, st (ainsat) elementi, mille puhul hulga mis tahes elemendi a korral kehtivad võrdused

${\displaystyle 0+a=a}$

ja

${\displaystyle a+0=a}$.

Tavaliselt eeldatakse sel puhul, et vaadeldav binaarne tehe on kommutatiivne.

Ringi nullelement

Ringi nullelemendiks nimetatakse ringi liitmistehte ühikelementi ehk neutraalset elementi (aditiivset nullelementi).

Korpuse nullelement on korpuse kui ringi nullelement.

Et ringi elemendid moodustavad liitmise suhtes rühma, siis ringil alati eksisteerib (ainus) nullelement 0.

Multiplikatiivse ja aditiivse nullelemendi kokkulangemine ringis

Teoreem. Ringi nullelement 0 on ühtlasi multiplikatiivne nullelement korrutamise suhtes.

Tõestus. On tarvis näidata, et ringi mis tahes elemendi a korral kehtivad võrdused

${\displaystyle 0a=0}$

ja

${\displaystyle a0=0}$.

Et ringi elemendid moodustavad liitmise suhtes rühma, siis kehtib

${\displaystyle 0=a+(-a)}$.

Seega, arvestades distributiivsust,

${\displaystyle 0a=(a+(-a))a=aa+(-aa)=0}$

ja

${\displaystyle a0=a(a+(-a))=aa+(-aa)=0}$.

Näiteid

Arv 0 on nullelemendiks täisarvude ringis, ratsionaalarvude ringis, reaalarvude korpuse ja kompleksarvude korpuse nullelement.

Võre nullelement

Võre nullelemendiks nimetatakse selle võre vähimat elementi. Vähim element on võre ühenditehte multiplikatiivne nullelement.