Naturaalarv

Naturaalarv on sõltuvalt kontekstist kas üks arvudest 1, 2, 3, ... või üks arvudest 0, 1, 2, 3, ...; kõikide naturaalarvude hulka tähistatakse sümboliga ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Segaduse vältimiseks kasutatakse mõnikord vastavalt tähistusi ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ja ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$. Matemaatikas on tänapäeval levinum nulli arvamine naturaalarvude hulka.

Naturaalarvude kaks põhilist otstarvet on loendamine ja järjestamine.

Kaks naturaalarvukontseptsiooni

Vanem traditsioon nulli naturaalarvude hulka ei arva (null tuli Euroopas kasutusele alles 13. sajandil). Seda definitsiooni kasutatakse rohkem sellistes matemaatika valdkondades nagu arvuteooria, kus esiplaanil on naturaalarvude korrutamine.

Loogikas, hulgateoorias ja informaatikas^[1] on rohkem kasutusel nulliga definitsioon, mis lihtsustab esitust. Üksnes sel juhul moodustavad naturaalarvud liitmise suhtes monoidi ja koos korrutamisega kommutatiivse poolringi.

Dijkstra põhjendus on järgmine. Selleks et tähistada mõnd järjestikuste naturaalarvude lõplikku jada, on kõige parem kasutada alguses mitteranget ja lõpus ranget võrratusmärki, näiteks jada 2, 3, ..., 12 kujul 2 ≤ i < 13. Üks eelis on see, et nõnda võrdub jada pikkus parempoolse ja vasakpoolse arvu vahega. Teiseks, kui arvude seas on esimene naturaalarv, ei ole tarvis kirjutada algusesse mittenaturaalarvu. Peale selle, kui jada on tühi, ei ole tarvis kirjutada lõppu mittenaturaalarvu. Edasi, olgu meil mis tahes lõplik jada. Kui me tahame selle liikmeid tähistada, võttes alaindeksiteks esimesed naturaalarvud, siis 0 ≤ i < N (kus N on jada pikkus) on ilusam kui 1 ≤ i < N+1.

Aksiomaatika

Richard Dedekind defineeris 1888 esimest korda naturaalarvud implitsiitselt aksiomaatika abil.^[2]

Temast sõltumatult esitas Giuseppe Peano 1889 lihtsama ja ühtlasi formaalselt täpsema aksiomaatika.^[3][4] See nn Peano aksiomaatika on käibele jäänud.

Algne aksiomaatika on formaliseeritav teist järku predikaatloogikas. Tänapäeval kasutatakse sageli nõrgemat varianti esimest järku predikaatloogikas (Peano aritmeetika) ^[5]

Peano aksiomaatikaga on suguluses Robinsoni aritmeetika ja lihtrekursiivne aritmeetika.

Vaata ka

• Täisarv
• Ratsionaalarvud
• Reaalarv
• Irratsionaalarvud
• Kompleksarvud