Banakortasun

Matematikan, banakortasuna edo propietate banakorra A multzo baten gainean definitutuako bi eragiketa bitarri buruzko propietate matematiko bat da^[1]. Zehatzago, bi eragiketak ${\displaystyle \circ }$ eta ${\displaystyle \star }$ izanik:

• ${\displaystyle \circ }$ eragiketa ezkerretik banakorra da ${\displaystyle \star }$ eragiketari buruz, A multzoko a, b eta c edozein hiru elementutarako, ondokoa betetzen bada:

${\displaystyle a\circ (b*c)=(a\circ b)*(a\circ c)}$

• ${\displaystyle \circ }$ eragiketa eskubitik banakorra da ${\displaystyle \star }$ eragiketari buruz, A multzoko a, b eta c edozein hiru elementutarako, ondokoa betetzen bada:

${\displaystyle (b*c)\circ a=(b\circ a)*(c\circ a)}$

• ${\displaystyle \circ }$ banakorra da ${\displaystyle \star }$ eragiketari buruz, ezkerretik zein eskubitik banakorra bada.

Laukizuzenekin banakortasuna erakusten duen irudia. Bi laukizuzenean batura bere azaleren batura bezala ere banatu daiteke.

Adibideak zenbaki errealekin

Honako adibideetan, banakortasun legea ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zenbaki errealekin erakusten da. Biderketa aipatzen denean oinarrizko matematikan, normalki biderketa mota honi egiten zaio erreferentzia. Aljebraren ikuspuntutik, zenbaki errealek eremu bat osatzen dute, banakortasun legearen baliagarritasuna bermatzen dutenak.

Lehen adibidea: biderketa mentala eta idatzizkoa

Aritmetika mentalarekin, banakortasuna normalki ez da konszienteki egiten: $${\displaystyle 6\cdot 16=6\cdot (10+6)=6\cdot 10+6\cdot 6=60+36=96}$$

Honela, ${\displaystyle 6\cdot 16}$ kalkulatzeko norberaren buruan, normalki lehenengo ${\displaystyle 6\cdot 10}$ biderkatzen da eta, ondoren ${\displaystyle 6\cdot 6}$ gehitzen zaio emaitzari. Idatzizko biderketak ere banakortasun legearekin egiten dira. }}

Bigarren adibidea: aldagaiekin

$${\displaystyle 3a^{2}b\cdot (4a-5b)=3a^{2}b\cdot 4a-3a^{2}b\cdot 5b=12a^{3}b-15a^{2}b^{2}}$$

Hirugarren adibidea: bi batuketekin

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\cdot (a-b)&=a\cdot (a-b)+b\cdot (a-b)=a^{2}-ab+ba-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\&=(a+b)\cdot a-(a+b)\cdot b=a^{2}+ba-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\\\end{aligned}}}$$

Hemen banakortasun legea bi aldiz erabiltzen da, eta berdin dio zein den lehenago biderkatzen den parentesi artekoa.

Laugarren adibidea

Hemen banakortasun legea aplikatzen da aurreko adibideekin. Kontuan hartu $${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}\,.}$$

${\displaystyle 6a^{2}b}$ faktorea gehiketako eremu guztietan agertzen denez, faktorizatu daiteke. Hau da, banakortasun legearen ondorioz, honakoa eskuratzen dugu:

$${\displaystyle 12a^{3}b^{2}-30a^{4}bc+18a^{2}b^{3}c^{2}=6a^{2}b\left(2ab-5a^{2}c+3b^{2}c^{2}\right).}$$