زیرگروه نرمال

در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال (به انگلیسی: Normal Subgroup) (که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود-الحاقی نیز می‌گویند)^[۱] زیرگروهی است که تحت مزدوج‌گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه ${\displaystyle N}$ از گروهی چون ${\displaystyle G}$ در ${\displaystyle G}$ نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام ${\displaystyle g\in G}$ و ${\displaystyle n\in N}$ نتیجه شود ${\displaystyle gng^{-}1\in N}$. نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال ${\displaystyle N\triangleleft G}$ است.

زیرگروه‌های نرمال مهم‌اند، چرا که آن‌ها(و فقط آن‌ها) را می‌توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه‌‎های نرمال ${\displaystyle G}$ دقیقاً هسته‌های همریختی‌های گروهی با دامنه ${\displaystyle G}$ اند؛ لذا می‌توان از این زیرگروه‌ها به طور ذاتی برای طبقه‌بندی چنین همریختی‌هایی بهره جست.

اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه‌های نرمال شد.^[۲]

تعاریف

یک زیرگروه ${\displaystyle N}$ از ${\displaystyle G}$ را زیرگروه نرمال از ${\displaystyle G}$ گویند، اگر تحت مزدوج‌گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از ${\displaystyle N}$ تحت عنصر دلخواهی از ${\displaystyle G}$ همیشه در ${\displaystyle N}$ قرار بگیرد.^[۳] نمادگذاری این رابطه ${\displaystyle N\triangleleft G}$ است.

شرایط معادل

برای هر زیرگروه ${\displaystyle N}$ از ${\displaystyle G}$، شرایط زیر معادل‌اند با این که ${\displaystyle N}$ زیر گروه نرمالی از ${\displaystyle G}$ باشد. بنابراین هر کدام از آن‌ها را می‌توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:

• تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) ${\displaystyle N}$ تحت هر عنصر ${\displaystyle G}$ زیرمجموعه‌ای از ${\displaystyle N}$ باشد.^[۴]
• تصویر تزویجی ${\displaystyle N}$ تحت هر عنصر ${\displaystyle G}$ برابر ${\displaystyle N}$ باشد.^[۴]
• برای تمام ${\displaystyle g\in G}$، همدسته‌های چپ و راست ${\displaystyle gN}$ و ${\displaystyle Ng}$ برابر باشند.^[۴]
• همدسته‌های چپ و راست ${\displaystyle N}$ در ${\displaystyle G}$ با هم یکی شوند.^[۴]
• ضرب یک عنصر از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle g}$ و یک عنصر از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle h}$، عنصری از همدسته چپ ${\displaystyle N}$ نسبت به ${\displaystyle gh}$ باشد: یعنی اگر ${\displaystyle \forall x,y,g,h\in G}$ از ${\displaystyle x\in gN}$ و ${\displaystyle y\in hN}$ نتیجه شود که ${\displaystyle xy\in (gh)N}$.
• ${\displaystyle N}$ برابر اجتماع رده‌های تزویجی ${\displaystyle G}$ باشد.^[۲]
• ${\displaystyle N}$ تحت درون‌ریختی‌های داخلی از ${\displaystyle G}$ حفظ شود.^[۵]
• همریختی گروهی چون ${\displaystyle G\rightarrow H}$ وجود دارد چنان که هسته آن ${\displaystyle N}$ باشد.^[۲]
• برای تمام ${\displaystyle n\in N}$ و ${\displaystyle g\in G}$، جابجاگر ${\displaystyle [n,g]=n^{-1}g^{-1}ng}$ در ${\displaystyle N}$ باشد.
• هر دو عنصر گروه ${\displaystyle G}$ در رابطه زیر صدق کنند:

${\displaystyle \forall g,h\in G,gh\in N\iff hg\in N}$