قاعده زنجیره‌ای

در حسابان، قاعده زنجیره‌ای (به انگلیسی: chain rule) یک فرمول است که مشتق ترکیب دو تابع مشتق‌پذیر f و g را به صورت مشتق f و g بیان می‌کند.

نمودار مشتقی برای توابع زنجیره‌ای

به‌طور شهودی، اگر متغیر y تابع متغیر دومی به نام ${\displaystyle u}$ باشد، و ${\displaystyle u}$ نیز خود تابع متغیر سوم ${\displaystyle x}$ باشد، آن‌گاه آهنگ تغییر ${\displaystyle y}$ نسبت به ${\displaystyle x}$ برابر است با آهنگ تغییر ${\displaystyle y}$ نسبت به ${\displaystyle u}$ ضرب در آهنگ تغییر ${\displaystyle u}$ نسبت به ${\displaystyle x}$. به زبان ریاضی:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}.}$

اثبات

با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها

برای اثبات قاعدهٔ زنجیره‌ای با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها، ابتدا ${\displaystyle y=f(x)}$ و ${\displaystyle x=g(t)}$ را در نظر گرفته، و سپس با انتخاب بی‌نهایت کوچک ${\displaystyle \Delta t\not =0}$، ${\displaystyle \Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)}$ و بصورت متقابل، ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$ را محاسبه می‌کنیم. داریم:$${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot {\frac {\Delta x}{\Delta t}}}$$و سپس با اعمال جزء استاندارد به رابطهٔ پایین، یعنی همان قاعدهٔ زنجیره‌ای، دست می‌یابیم.$${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$$

مثال‌ها

اگر تابع ${\displaystyle g(x)}$‎ در نقطه ${\displaystyle x=a}$ و تابع ${\displaystyle f}$ در ${\displaystyle x=g(a)}$‎ مشتق پذیر باشند آنگاه تابع ${\displaystyle h(x)=f(g(x))}$ نیز در ${\displaystyle x=a}$ مشتق پذیر است و داریم:

${\displaystyle h'(a)=f'(g(a)).g'(a)}$

مثلاً اگر ${\displaystyle f(x)=x^{n}\!}$ که در آن ${\displaystyle n\in Z}$ باشد مشتق تابع ${\displaystyle F(x)=(g(x))^{n}\!}$ در نقاط مشتق پذیر برابر است با:

${\displaystyle F'(a)=n(g(a))^{n-1}g'(a)\!}$

جستارهای وابسته

• مشتق
• مشتق ضمنی
• حساب
• تابع