مارپیچ لگاریتمی

اسپیرال لگاریتمی (به انگلیسی: logarithmic spiral) یا مارپیچ لگاریتمی یا اسپیرال متساوی الزاویه یا اسپیرال رشدیابنده یک خم مارپیچ ماننده خودهمانند است که معمولاً در طبیعت دیده می‌شود.

اسپیرال لگاریتمی (چرخش ۱۰°)

نیم‌تنه پوسته ناتیلوس (آبزی) که نمایش دهنده شکل حدودی اسپیرال لگاریتمی است.

کلم رومی که به صورت اسپیرال لگاریتمی رشد می‌یابد

برشی از مجموعه مندلبرو که از اسپیرال لگاریتمی تبعیت می‌کند

یک منطقه کم‌فشار در ایسلند نشان‌دهنده شکل اسپیرال لگاریتمی است

نشان spiral galaxies که معمولاً شبیه به اسپیرال لگاریتمی است کهکشان گرداب

اسپیرال چند وجهی

تاریخچه

اسپیرال لگاریتمی نخستین بار توسط رنه دکارت توصیف شد و بعدها توسط یاکوب برنولی به صورت گسترده مورد پژوهش قرار گرفت که وی آنها را مارپیچ لاله عباسی Spira mirabilis، "the marvelous spiral" نامید.

خصوصیات

اسپیرال لگاریتمی هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می‌توان به هر یک از دو سو تا بی‌نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم، دارد.^[۱]

توصیف

در دستگاه مختصات قطبی ${\displaystyle (r,\theta )}$ منحنی لگاریتم را می توان نوشت ^[۲]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

یا

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

با عدد e که مبنای طبیعی لگاریتم است و ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ همیشه به صورت مثبت مطلق است.

در حالت پارامتریک منحنی به شرح زیر است

${\displaystyle x(t)=r(t)\cos(t)=ae^{bt}\cos(t)\,}$

${\displaystyle y(t)=r(t)\sin(t)=ae^{bt}\sin(t)\,}$

با عدد حقیقی ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$.

خصوصیات اسپیرال این است که φ میان

مماس و radial line در نقطه ${\displaystyle (r,\theta )}$ ممتد است خصوصیات را می‌توان در اشکال مختلف هندسی بیان کرد

${\displaystyle \arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arctan {\frac {1}{b}}=\phi .}$

جستارهای وابسته

• مارپیچ طلایی