کسر مسلسل تعمیم یافته

در آنالیز مختلط، کسر مسلسل تعمیم یافته (انگلیسی: Generalized continued fraction) تعمیم حالت متعارف کسر مسلسل معمولی است که در آن پاره‌های صورت و مخرج را می‌توان ارزش‌های مختلط دلبخواهی گرفت.

کسر مسلسل تعمیم یافته عبارتی به صورت:

${\displaystyle x=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+{\cfrac {a_{4}}{b_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}$

است که در آن a_n (n > 0) پاره‌ای از صورت و b_n پاره‌ای از از مخرج است و عبارت b_n بخش صحیح آغازین کسر مسلسل است.

همگرایی‌های متوالی کسر مسلسل را می‌توان با استفاده از «فرمول بازگشتی بنیادی» شکل داد:

${\displaystyle x_{0}={\frac {A_{0}}{B_{0}}}=b_{0},\qquad x_{1}={\frac {A_{1}}{B_{1}}}={\frac {b_{1}b_{0}+a_{1}}{b_{1}}},\qquad x_{2}={\frac {A_{2}}{B_{2}}}={\frac {b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}},\qquad \cdots \,}$

که در آن A_n صورت و B_n مخرج^[۱][۲] nمین همگرایی نام داردو برابر اند با^[۳]

${\displaystyle A_{n}=b_{n}A_{n-1}+a_{n}A_{n-2},\qquad B_{n}=b_{n}B_{n-1}+a_{n}B_{n-2}\qquad (n\geq 1)\,}$

که در آن‌ها مقادیر اولیه عبارت است از:

${\displaystyle A_{-1}=1,\quad A_{0}=b_{0},\quad B_{-1}=0,\quad B_{0}=1.}$