شار ریچی
From Wikipedia, the free encyclopedia
در شاخه ریاضیاتی هندسه دیفرانسیل، شار ریچی (به انگلیسی: Ricci Flow) (/ˈriːtʃi/، ایتالیایی: [ˈrittʃi])، که برخی مواقع به آن شار ریچی همیلتون نیز گفته میشود، نوعی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) برای متریک ریمانی است. اغلب گفته میشود که شار ریچی، به دلیل شباهتهای صوری در ساختار ریاضیاتی معادله اش، مشابه با انتشار گرما و معادله گرما است؛ با این حال شار ریچی پدیدههای بسیاری را از خود بروز میدهد که در مطالعه معادله گرما دیده نمیشوند. همچنین نتایج متعددی از شار ریچی، برای شار انحنای میانگین ابررویهها نیز نشان داده شدهاست.
شار ریچی، که نامگذاری اش به دلیل حضور تنسور ریچی در تعریفش میباشد، اولین بار توسط ریچارد اس. همیلتون معرفی شد که از آن، جهت اثبات یک قضیه کره سه بعدی بهره جست ((Hamilton 1982)). همیلتون براساس پیشنهاد شینگ تونگ یائو مبنی بر این که جوابهای تکین شار ریچی را میتوان به کمک دادههای توپولوژیکی پیشبینی شده در حدس هندسی سازی ویلیام ثرستن شناسایی نمود، نتایجی را در دهه ۱۹۹۰ میلادی تولید کرد که سمت و سویش در جهت حل آن بود. گریگوری پرلمان در ۲۰۰۲ و ۲۰۰۳ میلادی، نتایج جدیدی در مورد شار ریچی ارائه نمود که شامل گونه نوینی از برخی جنبههای فنی روش همیلتون بود ((Perelman 2002)، (Perelman 2003a)). او در سال ۲۰۰۶ به دلیل مشارکتهایش در شار ریچی، مدال فیلدز را برنده شد که از قبول آن امتناع نمود.
اکنون کارهای همیلتون و پرلمن بهطور گسترده به عنوان اثباتی برای حدس ثرستن در نظر گرفته شده و شامل حالت خاصی از حدس پوانکاره میباشد که از ۱۹۰۴ میلادی یک مسئله باز در زمینه توپولوژی هندسی بهشمار میرود. با این حال، بسیاری از روشهای پرلمن وابسته به برخی از نتایج به شدت تکنیکی از زیرشاخههای به ظاهر بی ارتباط هندسه دیفرانسیل است، چنانکه اثبات کامل حدس ثرستن تنها توسط تعداد بسیار معدودی از ریاضیدانان درک شدهاست. اثبات حدس پوانکاره، به دلیل میانبرهای استدلالی حاصل از کارهای پرلمان، توبیاس کولدینگ و ویلیام مینیکوزی، بهطور وسیع تری شناخته شدهاست ((Perelman 2003b)، (Colding و Minicozzi 2005)). از این حدس به عنوان یکی از موفقیتهای عمده در شاخه ریاضیاتی آنالیز هندسی یاد میشود.
بعدها سیمون برندل و ریچارد شون، قضیه کره همیلتون را به ابعاد بالاتر توسعه دادند و با این کار حدس کره دیفرانسیلپذیر را که به مدت بیش از پنجاه سال لاینحل باقی مانده بود را به عنوان حالت خاصی از هندسه ریمانی اثبات نمودند ((Brendle و Schoen 2009)).