نظریه نمایش شاخه ای از ریاضیات است که به مطالعه ساختارهای جبری از طریق نمایش عناصر آنها به صورت تبدیلهای خطی فضاهای برداری پرداخته و به مطالعه مدولها روی این ساختارهای جبری میپردازد.[1] اساساً، این گونه نمایشها، اشیاء ساختارهای جبری را با توصیف عناصرشان به کمک ماتریسها و عملگرهای جبری چون جمع و ضرب ماتریسی، ملموس تر میکنند. اشیاء جبری که رام چنین توصیفاتی میشوند شامل گروهها، جبرهای شرکت پذیر و جبرهای لی میشوند. برجسته ترینشان (و از نظر تاریخی اولینشان) نظریه نمایش گروه هاست که در آن عناصر گروه توسط ماتریسهای معکوس پذیر چنان نمایش داده میشوند که عمل گروهی حکم همان عمل دوتایی گروه را دارد.[2]
نظریه نمایش روش مفیدیست، چرا که مسائل جبر مجرد را به مسائل جبر خطی که به خوبی شناخته شدهاند تقلیل میدهد.[3] به علاوه، فضای برداری که یک گروه (به عنوان مثال) را روی آن نمایش میدهیم میتواند بینهایت بعدی باشد، و حتی مثلاً میتواند یک فضای هیلبرت باشد که در این صورت میتوان روشهای آنالیزی را بر روی نظریه گروهها اعمال کرد.[4] نظریه نمایش در فیزیک هم اهمیت دارد، چرا که به عنوان مثال، به توصیف چگونگی تأثیرگذاری تقارن گروهی یک سیستم فیزیکی بر روی مجموعه جواب معادلات توصیف کننده آن سیستم میپردازد.[5]
نظریه نمایش بین شاخههای مختلف ریاضیات نفوذ بالایی دارد، به دو علت: یکی این که کاربردهای نظریه نمایش وسیعند،[6] به علاوه اثرات آن بر روی جبر، نظریه نمایش بر روی موارد زیر هم اثرگذار است:
موفقیت نظریه نمایش منجر به چندین تعمیم شده است. یکی از عام ترینهای آن نظریه رستههاست.[11] اشیاء جبری که نظریه نمایش را میتوان از دیدگاه آن (از دیدگاه نظریه رستهها) به صورت رستههای خاصی دید، و نمایشها را به صورت فانکتورهایی از اشیاء رسته به رسته فضاهای برداری دید. این توصیف به دو تعمیم آشکار اشاره میکند: اولین آن این که اشیاء جبری را میتوان با رستههای عام تری جایگزین کرد؛ دومین آن این که رسته هدف را میتوان به جای رسته فضاهای برداری با رستههای شناخته شدهٔ دیگری جایگزین نمود.
فرض کنید یک فضای برداری روی میدانی چون .[3] به عنوان مثال، فرض کنید یکی از یا باشد، یعنی به ترتیب یک فضای برداری معمولی -بعدی روی یا باشد. در این صورت ایده نظریه نمایش این است که جبر مجرد را با استفاده از ماتریسهای از اعداد حقیقی یا مختلط ملموس کنند.
سه نوع مختلف از اشیاء جبری وجود دارد که برای آنها این کار (ملموس سازی با استفاده از ماتریسها) را میتوان انجام داد: گروهها، جبرهای شرکتپذیر و جبرهای لی.[12]
مجموعه تمام ماتریسهای معکوسپذیر تحت ضرب ماتریسی تشکیل گروه میدهند و نظریه نمایش گروهها به تحلیل یک گروه با توصیف ("نمایش") عناصرش بر اساس ماتریسهای معکوس پذیر میپردازد.
جمع و ضرب ماتریسی مجموعه تمام ماتریسهای را تبدیل به جبر شرکتپذیر کرده و لذا متناظر با نظریه نمایش جبرهای شرکتپذیر خواهد بود.
اگر ضرب ماتریسی MN را با جابجاگر ماتریسی جایگزین کنیم، آنگاه ماتریسهای تبدیل به جبر لی میشوند، که منجر به نظریه نمایش جبرهای لی خواهد شد.
این کار را میتوان به هر میدان و هر فضای برداری روی تعمیم داد، که در آن نگاشتهای خطی جایگزین ماتریسها و ترکیب جایگزین ضرب ماتریسی میشود. اشیائی که با این تعمیم شکل میگیرند بدین قرارند: گروهی به نام از خودریختی (اتومورفیسم)های ، جبر شرکتپذیر از تمام درونریختی (اندومورفیسم)های و جبر لی متناظر آن یعنی .
Alperin, J. L. (1986), Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-44926-7.
Gelbart, Stephen (1984), "An Elementary Introduction to the Langlands Program", Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (2): 177–219, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15237-6.
Folland, Gerald B. (1995), A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRC Press, ISBN978-0-8493-8490-5.
Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (1998), Representations and Invariants of the Classical Groups, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-66348-9.
Gordon, James; Liebeck, Martin (1993), Representations and Characters of Finite Groups, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN978-0-521-44590-0.
Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol.222 (2nded.), Springer, ISBN978-3-319-13466-6
Helgason, Sigurdur (1978), Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Academic Press, ISBN978-0-12-338460-7
Humphreys, James E. (1972b), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol.21, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-90108-4, MR0396773
Jantzen, Jens Carsten (2003), Representations of Algebraic Groups, American Mathematical Society, ISBN978-0-8218-3527-2.
Kac, Victor G. (1990), Infinite Dimensional Lie Algebras (3rded.), Cambridge University Press, ISBN978-0-521-46693-6.
Knapp, Anthony W. (2001), Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples, Princeton University Press, ISBN978-0-691-09089-4.
Kim, Shoon Kyung (1999), Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-64062-6.
Kostrikin, A. I.; Manin, Yuri I. (1997), Linear Algebra and Geometry, Taylor & Francis, ISBN978-90-5699-049-7.
Lam, T. Y. (1998), "Representations of finite groups: a hundred years", Notices of the AMS, 45 (3, 4): 361–372 (Part I), 465–474 (Part II).
Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Geometric invariant theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)], vol.34 (3rded.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-3-540-56963-3, MR0214602; MR0719371 (2nd ed.); MR1304906(3rd ed.)
Olver, Peter J. (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN978-0-521-55821-1.
Sally, Paul; Vogan, David A. (1989), Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups, American Mathematical Society, ISBN978-0-8218-1526-7.
Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Springer-Verlag, ISBN978-0-387-90190-9.
Sharpe, Richard W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer, ISBN978-0-387-94732-7.
Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-88218-7.
Sternberg, Shlomo (1994), Group Theory and Physics, Cambridge University Press, ISBN978-0-521-55885-3.
Weyl, Hermann (1928), Gruppentheorie und Quantenmechanik (The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931ed.), S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover), ISBN978-0-486-60269-1.
Weyl, Hermann (1946), The Classical Groups: Their Invariants and Representations (2nded.), Princeton University Press (reprinted 1997), ISBN978-0-691-05756-9.