Arkusfunktiot

Arkusfunktiot (arcusfunktiot eli syklometriset funktiot) ovat trigonometristen funktioiden käänteisfunktioita.

Koska trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, on olemassa äärettömän monta reaalilukuarvoa, joilla nämä funktiot saavat saman arvon. Sen vuoksi niille ei voida koko reaalialueella määritellä käänteisfunktioita, vaan arkusfunktiot on määriteltävä vain tiettyjen rajoitettujen välien trigonometristen funktioiden käänteisfunktioina. Esimerkiksi arkussini määritellään välillä [${\displaystyle -\pi }$, ${\displaystyle \pi }$] olevaksi luvuksi (kulmaksi), jonka sini on annettu luku. Toisinaan tätä nimitetään arkusfunktion päähaaraksi ja muita lukuja, joiden sini on yhtä suuri, sivuhaaroiksi.

Arkusfunktioiden arvot ovat itse asiassa kulmia, jotka voidaan ilmoittaa asteina tai radiaaneina. Kun funktioita käytetään korkeammassa matematiikassa, esimerkiksi differentiaali- ja integraalilaskennassa kulmayksikkönä käytetään aina radiaania.

Arkusfunktiot ovat seuraavat:

Nimi	Merkintä	Määritelmä	Väli, jolla funktio on määritelty	Väli, jolla funktion (päähaaran) arvot ovat (radiaaneja)
arkussini	y = arcsin(x)	x = sin(y)	[−1, +1]	−π/2 ≤ y ≤ π/2
arkuskosini	y = arccos(x)	x = cos(y)	[−1, +1]	0 ≤ y ≤ π
arkustangentti	y = arctan(x)	x = tan(y)	koko ${\displaystyle \mathbb {R} }$	−π/2 < y < π/2
arkuskotangentti	y = arccot(x)	x = cot(y)	koko ${\displaystyle \mathbb {R} }$	0 < y < π
arkussekantti	y = arcsec(x)	x = sec(y)	]−∞, -1] ja [1, ∞[	0 ≤ y < π/2 tai π/2 < y ≤ π
arkuskosekantti	y = arccsc(x)	x = csc(y)	}−∞, −1] ja [1, ∞]	−π/2 ≤ y < 0 tai 0 < y ≤ π/2

Jos x:n sallitaan olla myös kompleksiluku, nämä y:n arvot koskevat vain sen reaaliosaa.

Funktioiden f(x) = arcsin(x) ja f(x) = arccos(x) kuvaajat

Funktioiden (x) = arctan(x) ja f(x) = arccot(x) kuvaajat

Funktioiden f(x) = arcsec(x) ja f(x) = arccsc(x) kuvaajat.

Monissa ohjelmointikielissä funktioille arcsin, arccos ja arctan käytetään merkintöjä asin, acos ja atan. Joissakin ohjelmointikielissä on lisäksi kahden muuttujan funktio atan2(y,x). Se palauttaa karteesisen koordinaatiston pistettä (x,y) napakoordinaatistossa vastaavan kulman, joka on määritelty välille [−π, π].

Funktiolaskimilla arkusfunktioiden arvot saadaan yleensä antamalla ensin syötteeksi luku ja painamalla sen jälkeen näppäimiä inv ja sin, inv ja cos tai inv ja tan. Arkusfunktioiden arvot saadaan tällöin asteina tai radiaaneina riippuen siitä, kumpi kulmayksikkö on valittu käytettäväksi.

Muunnoskaavoja

Komplementtikulmat:

${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {\pi }{2}}-\arctan x}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} x={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec} x}$

Negatiivisille argumenteille:

${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\!}$

${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x\!}$

${\displaystyle \arctan(-x)=-\arctan x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arccot}(-x)=\pi -\operatorname {arccot} x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(-x)=\pi -\operatorname {arcsec} x\!}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(-x)=-\operatorname {arccsc} x\!}$

Argumentin käänteisluvun arkusfunktiot:

${\displaystyle \arccos {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arcsec} x}$

${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{x}}\,=\operatorname {arccsc} x}$

${\displaystyle \arctan {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\arctan x=\operatorname {arccot} x,\ }$ jos ${\displaystyle \ x>0}$

${\displaystyle \arctan {\frac {1}{x}}=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan x=-\pi +\operatorname {arccot} x,\ }$ jos ${\displaystyle \ x<0}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\arctan x,\ }$ jod ${\displaystyle \ x>0}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot} x=\pi +\arctan x,\ }$ jos ${\displaystyle \ x<0}$

${\displaystyle \operatorname {arcsec} {\frac {1}{x}}=\arccos x}$

${\displaystyle \operatorname {arccsc} {\frac {1}{x}}=\arcsin x}$

Arkusfunktioiden derivaatat

Arkusfunktioiden derivaatat ovat sekä reaali- että kompleksilukujen joukossa seuraavat:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\arcsin x&{}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arccos x&{}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\arctan x&{}={\frac {1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&{}={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{x^{2}\,{\sqrt {1-{1 \over {x^{2}}}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1-{1 \over {x^{2}}}}}}}\end{aligned}}}$

Vain ${\displaystyle x}$:n reaaliarvoille pätee lisäksi:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&{}={\frac {1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&{}={\frac {-1}{|x|\,{\sqrt {x^{2}-1}}}};\qquad |x|>1\end{aligned}}}$

Arkusfunktioiden derivaatat ovat siis x:n algebrallisia lausekkeita, minkä vuoksi arkusfunktioilla on huomattava merkitys integraalilaskennassa.

Sarjakehitelmät

Arkusfunktioilla on seuraavat Taylorin sarjakehitelmät:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan z&{}=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} z&{}={\frac {\pi }{2}}-\arctan z\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}};\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)\\&{}=z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots \\&{}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{2n+1}};\qquad \left|z\right|\geq 1\end{aligned}}}$

Leonhard Euler keksi nopeammin suppenevan sarjan, jolla arkustangentin arvot voidaan laskea:

${\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kx^{2}}{(2k+1)(1+x^{2})}}.}$

(Tässä on huomattava, että arvolla n=0 on tulon oletettava olevan 1.)

Tämä voidaan ilmaista myös muodossa:

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{\,2n}\,(n!)^{2}}{\left(2n+1\right)!}}\;{\frac {x^{\,2n+1}}{\left(1+x^{2}\right)^{n+1}}}}$

Katso myös

• Alkeisfunktiot
• Areafunktiot
• Trigonometriset funktiot

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9