Taylorin sarja

Taylorin sarja tarkoittaa matematiikassa menetelmää, jossa approksimoidaan funktiota potenssisarjalla.^[1] Taylorin sarja on yksinkertainen erikoistapaus potenssisarjasta. Funktion likiarvon laskemiseen on usein käytännöllistä käyttää Taylorin sarjaa, sillä sarjakehitelmästä saatavan approksimaation virhe on aina tarkasti tunnettu. Sarja on nimetty englantilaisen matemaatikon Brook Taylorin mukaan.^[2]

Sininen viiva kuvaa eksponenttifunktiota. Punainen viiva on Taylorin sarjan n+1 ensimmäisen termin summa, joka approksimoi eksponenttifunktiota.

Jos funktiota kuvaava Taylorin sarja suppenee jollakin välillä ${\displaystyle ]a-r,a+r[}$, funktio on analyyttinen kyseisellä välillä. Tällöin funktion arvo on sama kuin sarjan summan raja-arvo.

Matemaattinen esitystapa

Avoimella välillä ${\displaystyle ]a-r,a+r[}$ jatkuvasti derivoituva reaali- tai kompleksiarvoinen funktio f voidaan kirjoittaa Taylorin sarjaksi

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...}$.

Toisaalta tämä voidaan merkitä muodossa

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$ ^[3]

Yllä olevan sarjan kehitteli Brook Taylor. Erityisesti tilanteessa jossa ${\displaystyle a=0}$ puhutaan Colin Maclaurinin mukaan nimetystä Maclaurinin sarjasta. Sen yleinen muoto on siis

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}$.

Eräiden funktioiden sarjakehitelmiä

Monille funktioille on mahdollista kirjoittaa Taylorin (usein nimenomaan Maclaurinin) sarja, joka kuvaa funktiota sitä tarkemmin, mitä enemmän termejä sarjakehitelmästä huomioidaan. Erityisesti sarjan raja-arvo, kun summaus suoritetaan nollasta äärettömään, vastaa täsmälleen annettua funktiota niillä x:n arvoilla, joilla se ylipäänsä suppenee. Eräitä tärkeitä sarjoja ovat (! tarkoittaa kertomaa)

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots }$

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots }$

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots }$ suppenee, kun -1 < x ≤ 1.

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots }$, suppenee, kun -1 < x ≤ 1.

Binomisarjat

Muotoa ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ olevien funktioiden Taylorin sarjoja sanotaan myös binomisarjoiksi. Sellaisia ovat esimerkiksi:

${\displaystyle {\sqrt {(1+x)}}(1+x)^{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-\ldots }$, suppenee, kun -1 ≤ x ≤ 1.

${\displaystyle (1+x)^{-1}=1-x+x^{2}-x^{3}+\ldots \,}$, suppenee, kun -1 < x < 1.

${\displaystyle (1+x)^{-2}=1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\ldots \,}$, suppenee, kun -1 < x < 1.

Monen muuttujan Taylorin sarja

Useamman muuttujan funktiolle Taylorin sarjaksi saadaan

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{d})}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}.}$

Taylorin polynomi

Jos Taylorin sarjasta

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...}$

otetaan vain korkeintaan n-asteiset termit, saadaan Taylorin polynomi, jonka kertaluku on n:

${\displaystyle f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}$

Tämän polynomin aste on aina korkeintaan n, mutta esimerkiksi funktion sin x Taylorin polynomi kehityspisteenä origo kertalukua seitsemän olevan Taylorin polynomin aste on kuusi.

Jos Taylorin sarjan jäännösosa

${\displaystyle \sum _{i=n+1}^{\infty }{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{i}.}$

voidaan todistaa riittävän pieneksi, voi Taylorin polynomia käyttää avoimella välillä jatkuvasti derivoituvien funktioiden approksimoimiseen polynomeilla.

Katso myös

• Laurentin sarja