Brahmaguptan kaava

Brahmaguptan kaavalla voidaan löytää geometriassa mielivaltaisen nelikulmion pinta-ala. Yleisimmässä erikoistapauksessaan sillä voidaan laskea jännenelikulmion pinta-ala.

Perusmuoto

Helpoiten muistettava muoto Brahmaguptan kaavasta antaa jännenelikulmion, jonka sivun pituudet ovat a, b, c ja d, pinta-alan:

${\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}},}$

missä s on nelikulmion piirin puolikas:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$^[1][2]

Brahmaguptan kaavan todistus

Jännenelikulmio

Jännenelikulmion pinta-ala = Kolmion ${\displaystyle \triangle ADB}$ pinta-ala + kolmion ${\displaystyle \triangle BDC}$ pinta-ala:

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C}$

Koska ${\displaystyle ABCD}$ on jännenelikulmio, on ${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB.}$ Siis ${\displaystyle \sin A=\sin C,}$ joten

${\displaystyle Ala={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}$

${\displaystyle (Ala)^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}}$

${\displaystyle 4(Ala)^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,}$

${\displaystyle 4(Ala)^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}\,}$

Soveltamalla kosinilausetta kolmioihin ${\displaystyle \triangle ADB}$ ja ${\displaystyle \triangle BDC}$ saadaan

${\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C\,}$

Sijoittamalla ${\displaystyle \cos C=-\cos A}$ (koska kulmat ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle C}$ ovat toistensa suplementtikulmia) ja järjestelemällä termejä saadaan

${\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.}$

Sijoittamalla tämä pinta-alan kaavaan saadaan

${\displaystyle 4(Ala)2=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16(Ala)^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}\,}$

joka edelleen voidaan kirjoittaa muodossa

${\displaystyle (2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,}$

${\displaystyle =((p+q)^{2}-(r-s)^{2})((r+s)^{2}-(p-q)^{2})\,}$

${\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p)\,}$

Koska ${\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}},}$ on

${\displaystyle 16(Ala)^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)\,}$

ja lopulta

${\displaystyle Ala={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}}$

Brahmaguptan kaava yleisessä nelikulmiossa

Yleisen nelikulmion pinta-alan laskemisessa tarvitaan sivujen pituuksien lisäksi tietää nelikulmion vastakkaisten kulmien summa:

${\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}$

missa ${\displaystyle \theta }$ on puolet vastakkaisten kulmien summasta. Koska jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on ${\displaystyle 180^{\circ }}$, voidaan yleistä kaavaa käyttää jännenelikulmion pinta-alan laskemiseen.

Erikoistapaus

Brahmaguptan kaavan erikoistapauksena saadaan Heronin kaava.