Cauchyn integraalikaava

Cauchyn integraalikaava on funktioteorian tulos, jolla pystyy laskemaan analyyttisen funktion arvon annetun alueen sisäpisteissä, jos funktion arvot tunnetaan alueen reunalla.

Formaalisti: Olkoon ${\displaystyle f}$ analyyttinen alueessa ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle D}$ kiekko, jonka sulkeuma sisältyy ${\displaystyle A}$:han. Tällöin kaikilla ${\displaystyle z\in D}$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}}$ d${\displaystyle \xi }$.^[1]

Cauchyn integraalikaavasta seuraa, että analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva. n:nnelle derivaatalle voidaan johtaa esitys

${\displaystyle f^{(n)}(z)={n! \over 2\pi i}\oint _{\partial D}{f(\xi ) \over (\xi -z)^{n+1}}\,d\xi .}$^[2]

Näitä kaavoja voidaan käyttää hyväksi residylauseen todistamisessa.