Juuri (laskutoimitus)

Matematiikassa n. juuri luvusta x tarkoittaa lukua, jonka n. potenssi on x. Luvun x n. juuri merkitään muodossa

Tämä artikkeli kertoo matematiikan juurioperaatiosta. Muita merkityksiä on täsmennyssivulla.

Rhindin papyruksessa vuodelta 1650 eaa. käytettiin juurilaskentaa kolmiomatematiikan apuna.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$,^[1]

missä n on luonnollinen luku. Edellä mainitussa juuressa luku x on juurrettava.

On muistettava tehdä ero juurioperaattorin käyttöön laskutoimituksena ja lukuna. Lukuna juurioperaation merkintätavan on sovittu tarkoittavan aina vain positiivista arvoa, esimerkiksi ${\displaystyle \scriptstyle ^{4}{\sqrt {58}}}$ on positiivinen irrationaaliluku.

Reaalilukujen juurifunktio

Pääartikkeli: Juurifunktio

Nollan juuri on nolla kaikilla luvun n arvoilla.

Pariton juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille siten, että saadaan tasan yksi ratkaisu,^[2] eli juuren otto on bijektiivinen funktio.

Jos otetaan parillinen juuri positiivisesta reaaliluvusta, saadaan kaksi mahdollista tulosta: negatiivinen ja positiivinen.^[3] Esimerkiksi 4. juuri luvusta 81 voi saada vastaukseksi 3 tai −3, eli ${\displaystyle \scriptstyle ^{4}{\sqrt {81}}~=~3~\lor ~-3.}$

Perusominaisuudet

Kun juuri n on luonnollinen luku, pätevät seuraavat laskutoimitukset:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}},}$^[4]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}~~~~(b\neq 0),}$^[4]

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}$

missä a ja b ovat positiivisia reaalilukuja.

Kompleksilukujen juurifunktio

Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä

${\displaystyle z^{n}=q}$

on aina n kappaletta ratkaisuja, kun q on mielivaltainen kompleksiluku (≠0). Kun q on 1, sanotaan näitä ratkaisuja n.nsiksi yksikköjuuriksi, ja ne muodostavat kompleksitason yksikköympyrän sisään säännöllisen n-kulmion, jossa yhtenä kärkipisteenä on 1.

Pelkästään edellä olevan yhtälön perusteella ei kompleksiluvun juurta siis voida määritellä yksikäsitteisesti funktioksi. Näin voidaan kuitenkin tehdä poistamalla kompleksitasosta seuraavanlainen joukko S:

• S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
  • S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää
• origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
  • Myös äärettömyys on tavallaan kasautumispiste. Viiva siis yhdistää origon ja äärettömyyden.
• Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora ${\displaystyle \scriptstyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ \mathrm {Im} z=0,\mathrm {Re} z<0\}}$

Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} -S}$ n:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.

Katso myös

• Alkeisfunktio
• Juurifunktio
• Imaginaariluku
• Neliöjuuri
• Kuutiojuuri