Neperin luku

Neperin luku (Napierin luku) on matemaattinen vakio, jonka likiarvo viidentoista desimaalin tarkkuudella on 2,718 281 828 459 045 ja jolle on kiinnitetty merkintä ${\displaystyle e}$. Neperin luku on luonnollisen logaritmi­funktion kantaluku. Se on saanut nimensä skotlantilaisen matemaatikon John Napierin mukaan. Napier itse ei käyttänyt kantalukua ${\displaystyle e}$, mutta jälkeenpäin on huomattu, että hänen logaritmien laskujärjestelmänsä on liittynyt luonnolliseen logaritmiin. Neperin luku on irrationaalinen ja transsendenttinen. Transsendenttisuustodistuksen antoi Charles Hermite vuonna 1873. Luku tunnetaan toiselta nimeltään myös Eulerin lukuna Leonhard Eulerin mukaan.

Sinisellä funktio ${\displaystyle e^{x}}$. Punainen viiva esittää tangenttisuoraa ${\displaystyle e^{x}}$:lle pisteessä ${\displaystyle (0,1)}$, jolloin sen kulmakerroin on tasan yksi. Muotoa ${\displaystyle c^{x}}$ olevista eksponenttifunktioista vain funktiolla ${\displaystyle e^{x}}$ on kyseinen ominaisuus.

Neperin luku on määritelmän mukaan ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Eksponenttifunktio

Neperin luvulla on suuri merkitys eksponenttifunktion ${\displaystyle e^{x}}$ kantalukuna. Tällä funktiolla on se ominaisuus, että funktion derivaatta on sama kuin funktio itse.

Kun eksponenttifunktion ${\displaystyle c^{x}}$ kantalukuna on positiivinen luku ${\displaystyle c}$, niin tällaisen funktion derivaatta on funktio itse kerrottuna vakiotekijällä. Jos tämä kantaluku ${\displaystyle c}$ on Neperin luku, niin kyseisen vakiotekijän arvo on ${\displaystyle 1}$. Tämä voidaan osoittaa seuraavasti:

Olkoot ${\displaystyle f(x)=c^{x},\ c\in \mathbb {R} }$. Derivaatan määritelmän mukaan

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {c^{x+h}-c^{x}}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {c^{x}(c^{h}-1)}{h}}\\&=c^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {c^{h}-1}{h}}.\end{aligned}}}$

Näin huomataan, että kaikilla kantaluvun ${\displaystyle c}$ arvoilla funktion ${\displaystyle c^{x}}$ derivaatta on funktio itse kerrottuna lausekkeella

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {c^{h}-1}{h}}}$.

Oletetaan sitten, että jollakin kantaluvun ${\displaystyle c}$ arvolla ${\displaystyle e}$ tämä raja-arvo on 1 eli

${\displaystyle 1=\lim _{n\to 0+}{\frac {e^{n}-1}{n}}.}$

Koska osamäärän raja-arvo = osoittajan raja-arvo jaettuna nimittäjän raja-arvolla, niin nimittäjän raja-arvolla kertomalla saadaan

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to 0+}n&=\lim _{n\to 0+}e^{n}-1\\\lim _{n\to 0+}e^{n}&=\lim _{n\to 0+}(1+n)\\e&=\lim _{n\to 0+}\left(1+n\right)^{\frac {1}{n}}\\e&=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

Siis luku ${\displaystyle e}$ on sama kuin Neperin luku.

Vaihtoehtoisia esitysmuotoja

Funktion ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ja x -akselin rajoittama pinta-ala on tasan yksi välillä ${\displaystyle [1,e]}$.

Neperin luvulle tunnetaan seuraava sarjakehitelmä:

${\displaystyle e=\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

Koska kertoma ${\displaystyle {n!}}$ kasvaa luvun n kasvaessa todella nopeasti, voidaan tämän sarjan avulla melko nopeasti laskea hyviä Neperin luvun likiarvoja.

Luku ${\displaystyle e}$ voidaan esittää seuraavanlaisena äärettömänä tulona, joka tunnetaan Pippengerin tulona:

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\right)^{\frac {1}{4}}\left({\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\right)^{\frac {1}{8}}\cdots }$

${\displaystyle e}$ saadaan määrättynä integraalina funktiosta ${\displaystyle f(x)=x^{-1}}$:

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{x}}\ dx=1}$

Sovelluksia

Kuvitellaan, että pankki maksaa vuodessa 100 % koron. Jos pankkitilin alkusaldo on 1 €, niin vuoden kuluttua saldo on 1 €·2,0 = 2 €. Jos pankki maksaisikin 50 % koron kaksi kertaa vuodessa ja jälkimmäisellä kerralla korkoa korolle, olisi loppusaldo 1 €·1,5² = 2,25 € ja jos taas 33,3… % koron 3 kertaa vuodessa: 1 €·(1,333…)³ ≈ 2,370 €. Kun pankki maksaa 1/n-kertaisen koron n kertaa vuodessa, on loppusaldo 1 €·(1+1/n)ⁿ. Kun 1/n lähestyy nollaa eli maksukertojen määrä lähestyy ääretöntä, niin lähestyy termi (1+1/n)ⁿ e:tä. Samaan tapaan jos alkuperäinen korkoprosentti olisi x % ja maksukertojen lukumäärää vastaavalla tavalla tihennettäisiin, saataisiin raja-arvona loppusaldoksi e^x/100 €.

Myös luonnossa esiintyy kasvuilmiöitä, jotka noudattavat samantapaista matemaattista lakia. Tällaista sanotaan eksponentiaaliseksi kasvuksi. Likimääräisenä esimerkkinä tällaisesta voidaan mainita puun kasvu.^[1]

Katso myös

• Luonnollinen logaritmi
• Eksponenttifunktio