Similaarinen matriisi

Similaarinen matriisi on matematiikan termi, jolla viitataan matriisien tietynlaiseen samankaltaisuuteen. Neliömatriisit ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat similaarisia, jos on olemassa kääntyvä ei-singulaarinen matriisi ${\displaystyle P}$ siten, että ${\displaystyle P^{-1}AP=B}$.^[1]

Sitä, että matriisi ${\displaystyle A}$ on similaarinen matriisin ${\displaystyle B}$ kanssa, merkitään ${\displaystyle A}$∼${\displaystyle B}$. Matriisien similaarisuus on ekvivalenssirelaatio.^[2]

Esimerkki

Olkoon matriisit ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\0&-1\\\end{bmatrix}}}$ ja ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&0\\-2&-1\\\end{bmatrix}}}$.

Tällöin matriisit ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat similaarisia, koska on olemassa kääntyvä matriisi ${\displaystyle P}$:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\\end{bmatrix}}}$, jonka käänteismatriisi on ${\displaystyle P^{-1}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\\\end{bmatrix}}}$.

Näille matriiseille pätee

${\displaystyle P^{-1}AP=B}$ ja ${\displaystyle PBP^{-1}=A}$, eli matriisit ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle B}$ ovat similaarisia.