Symmetrinen matriisi

Symmetrinen matriisi on matriisi, joka on itsensä transpoosi.^[1] Siten A on symmetrinen jos

${\displaystyle A^{\textrm {T}}=A\,}$,

jolloin A:n on tietysti oltava neliömatriisi. Symmetrisen matriisin alkiot sijaitsevat symmetrisesti päädiagonaalin suhteen. Jos matriisin alkioita merkitään A = (a_ij), on

${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\,}$

kaikilla indekseillä i ja j. Esimerkiksi seuraava 3×3-matriisi on symmetrinen:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&-4&5\\3&5&6\end{bmatrix}}}$

Kaikki lävistäjämatriisit ovat symmetrisiä, sillä kaikki niiden alkiot, jotka eivät ole lävistäjällä, ovat nollia. Matriisia sanotaan vinosymmetriseksi (engl. skew symmetric) jos sen vastamatriisi on A:n transpoosi eli

${\displaystyle A^{T}=-A\,}$.

Symmetrisillä matriiseilla, ja niitä vastaavilla lineaarikuvauksilla, on muutama erittäin tärkeä ominaisuus:

1. Symmetrisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat reaalisia.
2. Symmetrisen matriisin eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
3. Symmetrisen matriisin ominaisvektoreista voidaan muodostaa vektoriavaruuden ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ortonormaali kanta.

Näillä ominaisuuksilla on keskeinen asema monissa sovelluksissa, esimerkiksi kvanttimekaniikassa.