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cube de dimension infinie avec une topologie compacte De Wikipédia, l'encyclopédie libre
En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.
Pour tout , le cube de Hilbert est homéomorphe au sous-espace suivant de l'espace de suites , défini par deux éléments quelconques b et c de tels que [1] :
Il est donc métrisable et par conséquent (puisqu'il est compact), séparable[2] et possède la propriété suivante[3] :
Tout espace métrisable et séparable[4] est homéomorphe à un sous-espace de K.
Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
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