Identité (mathématiques)

En mathématiques, le mot « identité » est employé dans plusieurs sens : il peut par exemple désigner un objet bien défini jouant un rôle particulier dans une famille d'objets (on parle ainsi de la fonction identité parmi les fonctions, de l'élément identité dans un groupe, de la matrice identité parmi les matrices, etc.).

Cet article est consacré à un autre sens : une identité est une égalité entre deux expressions qui est vraie quelles que soient les valeurs des différentes variables employées ; par abus de langage, on baptise parfois aussi « identité » une égalité entre des termes constants, qu'on considère comme fondamentale ou surprenante. Les identités servent en général à transformer une expression mathématique en une autre, notamment pour résoudre une équation, ou à exprimer une relation importante entre certains éléments d'une théorie.

Exemples

• En trigonométrie, de nombreuses identités permettent d'effectuer des calculs.
  Par exemple, ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$est une identité au sens propre, vraie quelle que soit la valeur du nombre réel (et même complexe) ${\displaystyle x}$.
• L'identité de Vandermonde, en combinatoire, est vraie pour toutes les valeurs des trois entiers naturels qui y interviennent.
• La célèbre identité d'Euler${\displaystyle {\rm {e}}^{{\rm {i}}\pi }+1=0}$lie d'une façon simple et frappante des constantes fondamentales de l'analyse mathématique : 0 ; 1 ; i ; π ; et e.

Identités remarquables

Certaines identités algébriques sont qualifiées de « remarquables » dans l'enseignement secondaire^[1]. Elles facilitent le calcul ou la factorisation d'expressions polynomiales.

Par exemple, l'identité remarquable ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}$, qui est vraie quels que soient éléments ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ d'un anneau commutatif fournit, dans le cas des anneaux de caractéristique nulle ou impaire (comme celui des entiers relatifs ou le corps des nombres réels…), un procédé de calcul pour effectuer une multiplication si on dispose de simples listes de carrés : en utilisant

${\displaystyle ab={\dfrac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}$

${\displaystyle ab={\dfrac {(a+b)^{2}-(a-b)^{2}}{4}}}$

le calcul du produit ${\displaystyle ab}$ se ramène à des calculs de sommes ou de divisions par 2, et à la lecture de la liste de carrés.

Identités définissant des notions mathématiques

Certaines structures mathématiques sont définies à l’aide d’identités.

• Un espace vectoriel ${\displaystyle V\,}$ muni d'une application bilinéaire antisymétrique ${\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]:V\times V\rightarrow V\,}$ est une algèbre de Lie, par définition, lorsque l’identité de Jacobi est satisfaite :${\displaystyle \forall x,y,z\in V,\qquad \left[x,\left[y,z\right]\right]+\left[z,\left[x,y\right]\right]+\left[y,\left[z,x\right]\right]=0}$
• Une algèbre sur un corps commutatif est une algèbre de Jordan, par définition, lorsque l'opération de multiplication interne, ${\displaystyle (x,y)\rightarrow (x\cdot y)}$, est commutative et vérifie l’identité de Jordan : ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot (x\cdot x)=x\cdot (y\cdot (x\cdot x))}$.

Notes

1. N. Bourbaki parle d'« identités polynomiales » pour les relations vraies de la forme Q(P₁, … , P_n) = 0 avec Q, P₁,…, P_n des polynômes à coefficients entiers. Les identités remarquables du collège en sont des cas particuliers, voir N. Bourbaki, Éléments de mathématique. Algèbre, Paris, C.C.L.S., 1970, chap. 3, p. 27.

Liens externes

• Encyclopedia of Equation Online encyclopedia of mathematical identities

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