Loading AI tools
De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Le modèle de Maxwell décrit un matériau viscoélastique, c'est-à-dire ayant à la fois des propriétés élastiques et visqueuses. Ce modèle fut proposé par James Clerk Maxwell[1] en 1867.
Le modèle de Maxwell est représenté par un amortisseur purement visqueux et un ressort hookéen mis en série comme l'indique le schéma ci-contre. Dans cette configuration, lorsqu'une contrainte axiale est appliquée, la contrainte totale et la déformation totale sont définies de la manière suivante :
où l'indice A désigne l'amortisseur et l'indice R le ressort.
Les contraintes de l'amortisseur et du ressort sont données respectivement par :
où est le module d'élasticité associé au ressort et le coefficient de viscosité associé à l'amortisseur représentant un fluide newtonien.
Dérivons la déformation totale par rapport au temps :
En notant la dérivée temporelle par un point, l'équation précédente se réécrit :
En multipliant cette équation par ,
on a fait apparaître le temps de relaxation de Maxwell :
La solution générale de l'équation de Maxwell s'écrit :
.
Le module de relaxation de la contrainte dans le cadre de ce modèle s'écrit :
avec
On peut remarquer que
est l'équation d'un cercle. Ainsi, la représentation de en fonction de , dite représentation de Cole-Cole, est un demi cercle.
Remarque : la mise en parallèle d'un ressort et d'un amortisseur donne le modèle de Kelvin-Voigt.
Le modèle de Maxwell généralisé consiste à mettre en parallèle un nombre N fini d'éléments de Maxwell. Chacun de ces éléments répond aux relations énoncées ci-dessus. La contrainte totale est la somme des contraintes de chaque élément :
.
Dans ce cas, le fluide ne comporte pas qu'un seul temps de relaxation, mais une collection .
Cette équation peut se réécrire de la manière suivante :
où on a défini le module de relaxation des contraintes de cisaillement :
.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.