p-Laplacien
De Wikipedia, l'encyclopédie encyclopedia
En mathématiques, le p-Laplacien, ou l'opérateur de p-Laplace, est un opérateur différentiel partiel elliptique quasi-linéaire du second ordre. C'est une généralisation non linéaire de l'opérateur laplacien, où p, usuellement fixé à 2, est autorisé à s'étendre sur . Il s'écrit comme
où le est défini par :
Dans le cas particulier où , cet opérateur se réduit au laplacien classique[1]. En général, les solutions d'équations impliquant le p-Laplacien n'ont pas de dérivées du second ordre au sens classique, donc les solutions à ces équations doivent être comprises comme des solutions faibles. Par exemple, on dit qu'une fonction u appartenant à l'espace de Sobolev est une solution faible de
si pour chaque fonction test on a
où désigne le produit scalaire standard.