Vecteur de Runge-Lenz
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En mécanique classique, le vecteur de Runge-Lenz ou invariant de Runge-Lenz est un vecteur utilisé principalement pour décrire la forme et l'orientation de l'orbite d'un corps astronomique autour d'un autre, comme dans le cas d'une planète autour d'une étoile.
- Dans cet article les vecteurs et leurs normes sont indiqués respectivement en gras et italique. Par exemple : .
Pour deux corps en interaction gravitationnelle, le vecteur de Runge-Lenz est une constante du mouvement, ce qui signifie qu'il prend la même valeur en n'importe quel point de l'orbite[1] ; de manière équivalente on dit que le vecteur de Runge-Lenz se conserve. Plus généralement le vecteur de Runge-Lenz est conservé pour n'importe quel problème à deux corps interagissant par le biais d'une force centrale variant comme l'inverse du carré de la distance entre eux. De tels problèmes sont appelés « problèmes de Kepler »[2].
L'atome d'hydrogène est un problème de Kepler puisqu'il comprend deux charges en interaction électrostatique, une autre force centrale en carré inverse de la distance. Le vecteur de Runge-Lenz fut essentiel dans les premières descriptions quantiques du spectre d'émission de l'atome d'hydrogène[3] après le développement de l'équation de Schrödinger. Cependant cette approche est aujourd'hui très peu utilisée. En mécaniques classique et quantique, les grandeurs conservées correspondent généralement à une symétrie du problème. La conservation du vecteur de Runge-Lenz est associée à une symétrie inhabituelle : le problème de Kepler est mathématiquement équivalent à une particule se déplaçant librement sur une 3-sphère[4], ce qui implique que le problème est symétrique pour certaines rotations dans un espace à quatre dimensions[5]. Cette symétrie supérieure résulte de deux propriétés du problème de Kepler : le vecteur vitesse se déplace toujours dans un cercle parfait et, pour une énergie totale donnée, tous les cercles de vitesse s'interceptent en deux mêmes points[6].
Le vecteur de Runge–Lenz est nommé d'après Carl Runge et Wilhelm Lenz. Il est également connu sous les noms de vecteur de Runge[7],[8], de Lenz[7],[9],[10] ou de Pauli[7] ou de vecteur de Laplace (d'après Pierre-Simon de Laplace) bien qu'aucun de ces scientifiques ne l'ait découvert. Le vecteur de Runge-Lenz a en réalité été redécouvert plusieurs fois[11].
Le vecteur de Runge-Lenz est relié au vecteur excentricité utilisé en mécanique céleste et en astronautique[12],[13]. Il est aussi relié au vecteur de Hamilton[14]. Plusieurs généralisations du vecteur de Runge-Lenz ont été définies pour tenir compte de la relativité générale, du champ électromagnétique et des différents types de forces centrales.