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Angle d'or
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L'angle d’or est un angle valant fois l'angle plat soit environ 137,51°. Il est lié au nombre d'or.
Définitions
Résumé
Contexte
En géométrie

En géométrie, l'angle d'or est l'angle sous-tendu par le plus petit des deux arcs créés en divisant la circonférence c d'un cercle en deux sections dont les longueurs a et b sont dans un rapport égal au nombre d'or φ.
En conséquence :
L'angle d'or, sous-tendu par l'arc de cercle b, mesure en radians :
Démonstration
Comme l'arc intersecté par cet angle et la circonférence du cercle sont proportionnels :
Il mesure en degrés :
L'angle d'or rentrant, sous-tendu par l'arc de cercle a, mesure en radians :
Il mesure en degrés :
- soit 222° 29′ 32,049 4″
Dans la nature
On retrouve cet angle à plusieurs reprises dans la nature[1]. Par exemple, les écailles des pommes de pin , ou les fleurons du tournesol[2] sont disposées le long de spirales logarithmiques, deux écailles ou fleurons successifs formant un angle d'or avec le centre de la spirale[3]. Apparaissent alors des spirales secondaires dont le nombre est toujours un élément de la suite de Fibonacci. Stéphane Durand explique que cette disposition correspond à l'optimisation de l'occupation de l'espace dans le plan[4]. Il existe des exposés détaillés de ce phénomène[5],[6].
En imagerie médicale
L’imagerie à résonance magnétique (IRM) utilise plusieurs méthodes d'échantillonnage. L'une d'elles, radiale avec incrémentation d'une valeur nommée « angle d'or », utilise la valeur 111,25°[7],[8]
Propriété des multiples fibonacciens de l'angle d'or
D'après la formule de Binet exprimant les nombres de Fibonacci : où , on a quand tend vers l'infini.
On en déduit que tend vers 0 et que donc les multiples successifs de l'angle d'or rentrant par les nombres de Fibonacci tendent vers l'angle nul (et de même pour l'angle d'or (sortant)).
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Autres angles liés au nombre d'or
L'angle d'or ne doit pas être confondu avec l'angle , voir la suite A195692 de l'OEIS. Cet angle est proche de l'angle que font les faces de la pyramide de Khéops avec l’horizontale.
Deux autres angles liés au nombre d'or sont et son double qui sont les angles du triangle d'or.
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Références
Articles connexes
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