Radian

Le radian (symbole : rad) est l'unité d'angle (plan ou dièdre) du Système international.

Radian
Définition de l'angle en radians.
Informations
Système	Unités dérivées du Système international
Unité de…	Angle plan
Symbole	rad
Conversions
1 rad en…	est égal à…
tour complet	2π rad
modifier

Par définition, un angle ayant son sommet au centre d'un cercle a une mesure d'un radian s'il intercepte, sur la circonférence de ce cercle, un arc d'une longueur égale à celle du rayon du cercle.

Bien que le mot « radian » ait été inventé au cours des années 1870 par Thomas Muir et James Thomson^[1],[2], les mathématiciens mesuraient depuis longtemps les angles en prenant pour unité le rapport entre la circonférence et la longueur du rayon.

Définition

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Mesure d'un angle ${\displaystyle \alpha }$ en radian

Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π radians, appelé angle plein.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique ou encore lorsque l'on utilise un développement limité de cette fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens. De ce fait, le calcul des fonctions trigonométriques par une série de Taylor suppose l'expression des angles en radians, tout comme l'application de la formule d'Euler, qui l'a posée en spécifiant que les angles devaient être mesurés par la longueur en rayons de l'arc qu'ils interceptent, plus d'un siècle avant l'invention du terme radian.

Petits angles

Pour les petits angles exprimés en radians, sin x ≈ tan x ≈ x.

• Pour un angle de valeur inférieure à 0,17 radian (soit ~10°), l'erreur est de moins de 1 % ;
• Pour un angle de valeur inférieure à 0,05 radian (soit ~3°), l'erreur est de moins de 0,1 %^[3].

Dans le domaine de la topographie, où on traite d'angles faibles, on utilise le mil angulaire, une unité pratique, définie comme l'angle qu'intercepte une longueur de 1 mm à une distance de 1 m. Elle sert, par exemple, à déterminer la distance d'une mire de hauteur connue par la mesure de sa taille apparente. Dans les conditions où elle sert, cette unité s'identifie avec un milliradian.

Relations entre grades, degrés et radians

Diagramme pour la conversion entre degrés et radians.

Un tour complet équivaut à 2π radians, 360 degrés, 400 grades.

Par conséquent,

• Un radian vaut environ 57,3° ou 57° 18' (360°÷2π) ;
• un degré vaut approximativement 17,5 milliradians.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

${\displaystyle \theta _{deg}=\theta _{rad}\cdot {180 \over \pi }}$

.

${\displaystyle \theta _{rad}=\theta _{deg}\cdot {\pi \over 180}}$.

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

${\displaystyle \theta _{gra}=\theta _{rad}\cdot {200 \over \pi }}$

.

${\displaystyle \theta _{rad}=\theta _{gra}\cdot {\pi \over 200}}$.

Quelques angles particuliers en radians, degrés, tours et grades :

nom de l'angle	valeur en radians (rad)	valeur en degrés (°)	valeur en tours (tr)	valeur en grades (gon)
angle nul	0 rad	0°	0 tr	0 gon
milliradian	0,001	0,0573° ou 0° 3′ 26″ 16‴	0,00015915494 tr	0,063 661 977 gon
	π/6 rad	30°	0,08333 tr (1/12 tr)	33,333 333 gon
	π/4 rad	45°	0,125 tr (1/8 tr)	50 gon
radian	1 rad	57° 17′ 44″ 48‴	0,1591549430919 tr (1/π/2 tr)	63,661 980 gon
	π/3 rad	60°	0,1666 tr (1/6 tr)	66,666 666 gon
angle droit	π/2 rad	90°	0,25 tr	100 gon
	2π/3 rad	120°	0,333 tr	133,333 333 gon
	3π/4 rad	135°	0,375 tr	150 gon
angle plat	π rad	180°	0,5 tr	200 gon
	5π/4 rad	225°	0,625 tr	250 gon
	3π/2 rad	270°	0,75 tr	300 gon
	7π/4 rad	315°	0,875 tr	350 gon
angle plein	2π rad	360°	1 tr	400 gon

Éponymie

L'astéroïde (206265) Radian porte le nom de l'unité. À l'arrondi à l'unité près, 206265 est le nombre de secondes d'arc dans un radian et, par conséquent, également le nombre d'unités astronomiques dans un parsec (valeur exacte : 648 000/π)^[4].