Approximation de Boussinesq

L'approximation de Boussinesq en mécanique des fluides désigne une approximation des équations de Navier-Stokes pour des écoulements incompressibles à surface libre dans lesquels existe un gradient de masse volumique vertical entraînant l'absence d'équilibre hydrostatique. Ce type de méthode a été introduite en 1877 par Joseph Boussinesq, professeur de mécanique à l'Université de Lille et à l'Institut industriel du Nord (École centrale de Lille)^[1].

Cette approximation est à la base de nombreux développements, par exemple les écoulements rapidement variés^[2] (par exemple un déversoir de canal), la circulation océanique et les problèmes d'ondes à la surface des océans lorsque celui-ci est stratifié^[3], certains mouvements dans l'atmosphère associés à une variation de température comme les vents catabatiques et les problèmes de convection libre^[4].

Les problèmes où l'équilibre hydrostatique est conservé (écoulements en eau peu profonde) relèvent des équations de Barré de Saint-Venant.

Équations de Navier-Stokes pour une masse volumique variable

On suppose que le milieu présente de faibles variations de température T. Par suite les variations de masse volumique ρ autour de la valeur nominale ρ₀ sont également faibles. De plus on peut confondre les capacités thermiques massiques à volume constant C_V et à pression constante C_p et supposer ces valeurs indépendantes de la température, de même que la conductivité thermique.

Avec ces hypothèses les équations de Navier-Stokes s'écrivent :

• continuité

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}=0}$

• conservation de la quantité de mouvement

${\displaystyle \rho {\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\mathbf {\nabla } p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho \mathbf {g} }$

• la dépendance en température fait que les équations ci-dessus sont à présent couplées à l'équation de conservation de l'énergie interne massique e

${\displaystyle {\dfrac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T-\beta \,\nabla ^{2}T=0\,,\;\;\;\;\;\beta ={\frac {\lambda }{\rho C_{p}}}}$

où p est la pression, μ la viscosité dynamique du fluide, V la vitesse, g la gravité, λ la conductivité thermique et β la diffusivité thermique.

Démonstration

L'équation de conservation de l'énergie interne massique e s'écrit pour un écoulement incompressible

${\displaystyle \rho {\dfrac {\partial e}{\partial t}}+\rho \mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } e=-\mathbf {\nabla } \cdot (\lambda \nabla T)}$

• La chaleur spécifique C_V = C_p est constante

${\displaystyle {\dfrac {\partial e}{\partial t}}=C_{p}{\dfrac {\partial T}{\partial t}}}$

et

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } e=C_{p}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T}$

• La conductivité λ est constante

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot (\lambda \nabla T)=\lambda \nabla ^{2}T}$

Approximation de Boussinesq

Équation de continuité

Supposons une variation de masse volumique δρ crée par un phénomène quelconque

${\displaystyle \rho =\rho _{0}+\delta \rho }$

L'équation de continuité devient

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}0&=&{\frac {D}{Dt}}(\rho _{0}+\delta \rho )+(\rho _{0}+\delta \rho )\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \\[0.6em]&=&\underbrace {{\frac {D}{Dt}}\delta \rho +\delta \rho \,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} } _{=0}+\rho _{0}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} \end{array}}}$

soit, comme pour un milieu à masse volumique constante

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} =0}$

Équation de quantité de mouvement

Pour l'équation de quantité de mouvement on suppose une faible variation de masse volumique

${\displaystyle |\delta \rho |\ll \rho _{0}}$

alors

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\mathbf {\nabla } p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho \mathbf {g} }$

Par ailleurs g dérive d'un potentiel (par exemple Φ = g z à l'échelle du laboratoire)

${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \phi }$

donc

${\displaystyle -\nabla p+\rho \mathbf {g} =-\nabla (p+\rho _{0}\phi )+\mathbf {g} \delta \rho }$

La variation de masse volumique est elle-même reliée à la variation de température par

${\displaystyle \delta \rho =-\alpha \rho _{0}\delta T}$

où α est le coefficient de dilatation thermique. Soit finalement

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {D\mathbf {V} }{Dt}}=-\nabla (p+\rho _{0}\phi )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {V} +\rho _{0}\mathbf {f} }$

où on a introduit la flottabilité

${\displaystyle \mathbf {f} =-\mathbf {g} \alpha \,\delta T}$

Équation de l'énergie

On écrit

${\displaystyle T=T_{0}+\delta T}$

Cette expression est portée dans l'équation de l'énergie

${\displaystyle \underbrace {{\dfrac {\partial T_{0}}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } T_{0}+\beta \,\nabla ^{2}T_{0}} _{=0}+{\dfrac {\partial \delta T}{\partial t}}+\mathbf {V} \cdot \mathbf {\nabla } \delta T+\beta \,\nabla ^{2}\delta T=0}$

Donc une équation sur la variation de température identique à celle sur la température elle-même.