Automorphisme de graphe

En mathématiques et en particulier en théorie des graphes, un automorphisme de graphe est une bijection de l'ensemble des sommets vers lui-même qui préserve l'ensemble des arêtes.

On peut définir deux automorphismes sur le graphe maison : l'identité et la permutation qui échange les deux « murs » de la « maison ».

On peut voir l'automorphisme de graphes comme un isomorphisme de graphes du graphe dans lui-même. On peut en général s'arranger pour mettre en évidence visuellement les automorphismes de graphes sous forme de symétries dans le tracé du graphe.

Définition formelle

Un automorphisme f d'un graphe G = (V, E) est une permutation dans l'ensemble des sommets V telle qu'une paire de sommets (u, v) forme une arête si et seulement si (f(u), f(v)) forme aussi une arête.

Les automorphismes peuvent être définis ainsi à la fois dans le cas des graphes orientés et des graphes non orientés.

Propriétés

Tout graphe possède au moins un automorphisme, l'identité, qui transforme chaque sommet en lui-même.

Si f est un automorphisme dans un graphe G et si u est un sommet de ce graphe, alors :

${\displaystyle deg(f(u))=deg(u)}$

Autrement dit, un automorphisme de graphe ne modifie pas le degré des sommets d'un graphe. La réciproque n'est pas vraie : ce n'est pas parce qu'une permutation des sommets d'un graphe ne modifie pas leur degré que c'est un automorphisme^[1].

Composition d'automorphismes

La composition de deux automorphismes est un autre automorphisme. L'ensemble des automorphismes d'un même graphe muni de l'opération de composition forme un groupe, le groupe des automorphismes de ce graphe.

En sens inverse, le théorème de Frucht montre que tous les groupes peuvent être représentés par le groupe des automorphismes d'un graphe connexe^[2], et même d'un graphe cubique^[3].

Les familles de graphes définies par leurs automorphismes

Le graphe de Frucht a beau être 3-régulier, son seul automorphisme est l'identité.

Plusieurs familles de graphes sont définies d'après leurs automorphismes :

• Un graphe asymétrique est un graphe dont le seul automorphisme est l'identité (illustration).
• Un graphe sommet-transitif est un graphe dans lequel n'importe quel sommet peut être transformé en n'importe quel autre sommet par un automorphisme.
• Un graphe arête-transitif est un graphe dans lequel n'importe quelle arête peut être transformée en n'importe quelle autre arête par un automorphisme.
• Un graphe symétrique est un graphe dans lequel n'importe quelle paire de sommets adjacents peut être transformée par un automorphisme en une autre paire de sommets adjacents.
• Un graphe graphe distance-transitif est un graphe dans lequel n'importe quelle paire de sommets peut être transformée en n'importe quelle autre paire de sommets à la même distance l'un de l'autre par un automorphisme.
• Un graphe semi-symétrique est un graphe qui est arête-transitif mais pas sommet-transitif.
• Un graphe demi-transitif est un graphe qui est arête-transitif et sommet-transitif, mais pas symétrique.

Les relations d'inclusion entre ces familles sont indiquées par le schéma suivant :

Dodécaèdre		Graphe de Shrikhande		Graphe de Paley
Graphe distance-transitif		Graphe distance-régulier		Graphe fortement régulier
Graphe F26A		Graphe de Nauru
Graphe symétrique (arc-transitif)		Graphe t-transitif, t ≥ 2
(si connexe)
Graphe de Holt		Graphe de Folkman		Graphe biparti complet K3,5
Graphe demi-transitif		Graphe semi-symétrique		Graphe arête-transitif
Tétraèdre tronqué		Graphe de Frucht
Graphe sommet-transitif		Graphe régulier
Prisme triangulaire
Graphe de Cayley