La démonstrationmathématique suivante pour le calcul du volume de l'hypersphère dépend des définitions précises de la sphère et de la boule. Le volume intérieur d'une sphère est le volume de la boule délimitée par la sphère.
Le volume est proportionnel à la n-ième puissance du rayon
On montre premièrement par récurrence sur n que le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-ième puissance de son rayon. L'égalité a déjà été établie en dimension 1. On suppose maintenant que ce soit vrai en dimension n, c'est-à-dire
Alors,
On a établi que pour tout n ≥ 1, le volume d'une n-boule est proportionnel à la n-ième puissance de son rayon; c'est-à-dire que si on note le volume de la n-boule unitaire, on a:
qui est «l'aire intérieure du cercle unité», ou plus exactement, l'aire du disque borné par ce cercle. On en déduit facilement:
Ceci est «le volume intérieur de la sphère unité», ou plus exactement, le volume de la boule délimitée par cette sphère.
Cas général
Visualisation des fonctions intégrées ici.
On généralise cette démonstration au cas de la boule en dimension supérieure:
Les hyperboules se pincent de plus en plus comme la dimension croît. Plus précisément, puisqu'on intègre en coordonnées cartésiennes, et que les boîtes rectangulaires circonscrites aux boules s'étendent de plus en plus hors des boules comme la dimension croît, les boules paraissent de plus en plus pincées au point de vue des coordonnées choisies.
À partir de la relation on peut facilement vérifier par récurrence que pour tout n ≥ 1,
Et donc finalement, pour un rayon on aura
Forme générale du volume et aire de l'hypersphère
Par «désintégration de mesure»[3], l'aire de l'hypersphère de dimension n – 1 est la dérivée, par rapport à son rayon, du volume de la boule de dimension n qu'elle borde.
Puisque le volume de la boule de dimension n est:
alors l'aire de l'hypersphère de dimension n – 1 qui la borde est:
.
Et comme on peut écrire aussi:
Récurrence d'ordre 2
À partir de la récurrence d'ordre 1:
utilisée plus haut directement pour exprimer V(n) en termes de la fonction gamma, une alternative est d'écrire une récurrence d'ordre 2:
pour le volume de la boule de rayon r dans la mesure de volume étant, comme auparavant, celle de Lebesgue en coordonnées orthonormales. Il n'est plus possible de calculer l'aire de la surface comme la dérivée du volume par rapport au rayon parce que le rayon n'est plus partout normal à la surface.