Carré parfait

En mathématiques, un carré parfait (ou nombre carré s'il est non nul, voire simplement carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Dans le système de numération décimal, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6, ou 9.

Les trois premiers carrés parfaits non nuls.

Définition et liste

Un carré parfait est le carré d'un entier naturel.

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré de n × n points.

Les 70 plus petits carrés parfaits sont^{[Note 1]} :

02 = 0

52 = 25

102 = 100

152 = 225

202 = 400

252 = 625

302 = 900

352 = 1 225

402 = 1 600

452 = 2 025

502 = 2 500

552 = 3 025

602 = 3 600

652 = 4 225

12 = 1

62 = 36

112 = 121

162 = 256

212 = 441

262 = 676

312 = 961

362 = 1 296

412 = 1 681

462 = 2 116

512 = 2 601

562 = 3 136

612 = 3 721

662 = 4 356

22 = 4

72 = 49

122 = 144

172 = 289

222 = 484

272 = 729

322 = 1 024

372 = 1 369

422 = 1 764

472 = 2 209

522 = 2 704

572 = 3 249

622 = 3 844

672 = 4 489

32 = 9

82 = 64

132 = 169

182 = 324

232 = 529

282 = 784

332 = 1 089

382 = 1 444

432 = 1 849

482 = 2 304

532 = 2 809

582 = 3 364

632 = 3 969

682 = 4 624

42 = 16

92 = 81

142 = 196

192 = 361

242 = 576

292 = 841

342 = 1 156

392 = 1 521

442 = 1 936

492 = 2 401

542 = 2 916

592 = 3 481

642 = 4 096

692 = 4 761

Les nombres carrés sont les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n².

Propriétés

Les mathématiciens se sont beaucoup intéressés à certaines propriétés concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 3² + 4² = 5², le plus petit des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent former une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à l'équation a³ + b³ = c³ avec a, b, et c entiers non nuls.

Plusieurs autres propriétés relatives aux carrés parfaits sont mentionnées dans la suite de ce chapitre, où a, b, et c sont des entiers naturels.

• 1. Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré parfait.

Démonstration

Si ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des carrés parfaits, c'est qu'il existe ${\displaystyle n}$ tel que ${\displaystyle a=n^{2}}$ et ${\displaystyle p}$ tel que ${\displaystyle b=p^{2}}$. Donc ${\displaystyle ab=n^{2}p^{2}=(np)^{2}}$ : ${\displaystyle ab}$ est un carré parfait, car il est le carré de ${\displaystyle np}$.

• 2. a ≠ 0 ; ${\displaystyle a}$ est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.

Démonstration

Si a ≠ 0 est un carré parfait, alors il existe un entier m > 0 tel que a = m². En notant ${\displaystyle m={p_{1}}^{k_{1}}\dots {p_{r}}^{k_{r}}}$ la décomposition de ${\displaystyle m}$ en produit de facteurs premiers, on déduit : ${\displaystyle a={p_{1}}^{2k_{1}}\dots {p_{r}}^{2k_{r}},}$ donc tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs.

Réciproquement : si tous les exposants dans la décomposition de a sont pairs, alors a est de la forme ${\displaystyle {p_{1}}^{2k_{1}}\dots {p_{r}}^{2k_{r}}=\left({p_{1}}^{k_{1}}\dots {p_{r}}^{k_{r}}\right)^{2}.}$

• 3. ab ≠ 0 ; si ab est un carré parfait et si a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits^[1].
  Ne pas oublier la seconde condition. Par exemple : 12×3 = 6², mais 12 et 3 ne sont pas premiers entre eux ; 12 et 3 ne sont pas des carrés parfaits.

Démonstration

Supposons que ab = n² où ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Comme ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont premiers entre eux, on a : pgcd(a, b) = 1 .

Notons c = pgcd(a, n). On a :

${\displaystyle a=a\operatorname {pgcd} \left(a,b\right)=\operatorname {pgcd} \left(a^{2},ab\right)=\operatorname {pgcd} \left(a^{2},n^{2}\right)=c^{2}\operatorname {pgcd} \left(\left(a/c\right)^{2},\left(n/c\right)^{2}\right)=c^{2}.}$

De même, notons d = pgcd(b, n). On a : b = d².

• 4. a ≠ 0 ; a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés parfaits.

Démonstration

Il suffit de remarquer que ${\displaystyle a^{2}<a\left(a+1\right)<a\left(a+2\right)<\left(a+1\right)^{2}.}$

• 5. a ≠ 0 ; a est un carré parfait si, et seulement si, le nombre de ses diviseurs est impair.

Démonstration

Par la propriété 2, a est un carré parfait si et seulement si les exposants j_p dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont tous pairs, ce qui équivaut à l'imparité du produit ${\displaystyle \prod \left(j_{p}+1\right).}$ Or ce produit est le nombre de diviseurs de a^[2] .

• 6. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6, ou 9 dans le système décimal.

Attention, la réciproque n'est pas vraie : par exemple ${\displaystyle 10}$ se termine par ${\displaystyle 0}$ mais n'est pas un carré parfait.

Démonstration

Un nombre entier ${\displaystyle n}$ écrit en base décimale a comme nombre d'unités ${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8}$ ou ${\displaystyle 9}$. Son carré ${\displaystyle n^{2}}$ a donc comme nombre d'unités celui du carré de ${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$, soit : ${\displaystyle 0,1,4,5,6}$ ou ${\displaystyle 9}$.

Ceci est un cas d'application des propriétés des résidus quadratiques modulo un entier. On dit qu'un entier q est un résidu quadratique modulo un entier m s'il existe un entier n tel que : ${\displaystyle q\equiv {n^{2}}{\bmod {m}}}$. Ce concept permet notamment de démontrer sans calcul que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec ${\displaystyle k}$ entier, l'équation ${\displaystyle n^{2}=4k+2}$ n'admet pas de solution dans ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. En effet, les résidus quadratiques modulo ${\displaystyle 4}$ étant ${\displaystyle 0}$ et ${\displaystyle 1}$, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à ${\displaystyle 2}$ dans la division euclidienne par ${\displaystyle 4}$.

• 7. Le n-ième nombre carré est égal à la somme des n premiers nombres impairs positifs:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+\dots +(2n-1)=n^{2}.}$

Démonstration par récurrence

On constate que cette propriété est vraie pour ${\displaystyle n=1}$ ; définissons ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=1+3+5+\dots +(2n-1)}$ et supposons que ${\displaystyle S_{n}=n^{2}}$. Alors : ${\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+(2n+1)=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}}$. La propriété est donc démontrée.

Cette propriété fournit un moyen pratique pour former une table de carrés^[3]. Elle peut être représentée et utilisée sous forme de gnomons : la représentation du premier nombre carré, 1, est un point ; celle du n-ième, n², s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du (n − 1)-ième carré de points par un « L » de 2n – 1 points :

1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

4 + 5 = 9 = 32

9 + 7 = 16 = 42

1 + 3 + 5 + 7 = 42

Elle est aussi utilisée comme méthode d'extraction de racine carrée, y compris avec un boulier^[4].

Illustration de la propriété de la somme des premiers cubes pour n=5.

• 8. Le n-ième nombre carré est égal à la somme des n-ième et (n − 1)-ième nombres triangulaires :

${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}.}$

• 9. La somme des n-ième et (n − 1)-ième nombres carrés est égale au n-ième nombre carré centré^[5].

• 10. La somme des n premiers nombres carrés est égale au n-ième nombre pyramidal carré :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\dots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}.}$

• 11. La somme des n premiers cubes, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}}$ , est un carré parfait. Plus précisément :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$.

Démonstration par récurrence

On constate que cette propriété est vraie pour ${\displaystyle n=1}$ ; définissons ${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}i^{3}}$ et supposons que ${\displaystyle S_{n}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}}$. On sait que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}$. Donc : ${\displaystyle S_{n}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}$. Alors : ${\displaystyle S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}={\frac {(n+1)^{2}}{4}}(n^{2}+4n+4)=\left({\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\right)^{2}}$. La propriété est donc démontrée.

Calcul mental

Calculer facilement le carré d'un entier

On peut calculer mentalement les carrés des nombres entiers s'écrivant avec deux (voire trois) chiffres en notation décimale assez facilement^[6]. Soit un nombre x s'écrivant ${\displaystyle 10a+b}$, avec b un chiffre non nul. On obtient son carré facilement en calculant de la façon suivante :

• ${\displaystyle x^{2}=(x+b)\times a\times 10+b^{2}}$ si b est compris entre 1 et 4,
• ${\displaystyle x^{2}=a(a+1)\times 100+25}$ si b est égal à 5,
• ${\displaystyle x^{2}=(x-b')\times (a+1)\times 10+b'^{2}}$ si b est compris entre 6 et 9, avec ${\displaystyle b'=10-b}$.

Cela réduit la difficulté du calcul au produit d'un nombre de deux chiffres par un nombre réduit à un chiffre, et à l'élévation au carré des nombres 1 à 4. Ainsi :

• ${\displaystyle 62^{2}=64\times 6\times 10+2^{2}=3840+4=3844}$
• ${\displaystyle 65^{2}=6\times 7\times 100+25=4200+25=4225}$
• ${\displaystyle 76^{2}=72\times 8\times 10+4^{2}=5760+16=5776}$

Trouver la partie entière de la racine carrée d'un entier sans division ni multiplication

La propriété 7 permet de calculer tous les carrés d'entiers par addition d'entiers impairs. Elle permet également de connaitre la partie entière de la racine carrée d'un entier en n'utilisant que l'addition.

On procède comme suit^[4] : pour un entier quelconque ${\displaystyle a}$, on réalise progressivement l'addition des premiers nombres impairs.

Alors, pour un certain rang ${\displaystyle n}$, on a : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\leqslant a<(n+1)^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(2i-1)}$ , soit ${\displaystyle n\leqslant {\sqrt {a}}<n+1}$ . Donc la partie entière de la racine carrée ${\displaystyle a}$ est égale à ${\displaystyle n}$, qui est le nombre maximal de nombres impairs qu'on a pu additionner sans dépasser ${\displaystyle a}$, ou encore le nombre de boules formant le côté du gnomon correspondant.

Si l'on tombe exactement sur ${\displaystyle a}$, c'est que ${\displaystyle a}$ est un carré parfait, de racine carrée égale à ${\displaystyle n}$.

Carrés parfaits dans le monde réel

Carrés parfaits dans des créations humaines

Les carrés parfaits sont présents dans de très nombreux ouvrages d'algèbre et de géométrie. Comme ils peuvent être représentés par des carrés géométriques, ils se retrouvent également dans différentes réalisations humaines, notamment :

• jeux : échiquiers (carrés parfaits de 8x8), damiers (carrés parfaits de 8x8 ou 10x10), tabliers de Go (carrés parfaits de 9x9, 13x13 ou 19x19). Et le célèbre Rubik's Cube, décliné en de multiples variantes depuis sa création en 1974, se présente, dans sa forme originelle, comme un cube parfait de 3x3x3, chacune de ses six faces étant un carré parfait de 3x3.
• éléments d'architecture et de décoration : les carrelages réalisés en pose droite avec des carreaux carrés montrent des carrés parfaits pouvant atteindre une très grande taille. Certaines techniques de pose de parquet font également apparaître des carrés parfaits. De même, des plafonds à caissons carrés montrent, dès l'Antiquité, des carrés parfaits, comme à la Maison Carrée de Nîmes.

• 
  Damier, carré parfait de 10x10.
• 
  Rubik's Cube dont chaque face est un carré parfait 3x3.
• 
  Carrelage montrant des carrés parfaits de 2x2, 4x4 et 6x6.

Carrés parfaits dans la nature

Les carrés parfaits sont présents dans la structure cristalline de certains éléments naturels, notamment ceux dont la maille constitutive est un cube, tels le polonium, le fer, le chrome,le tungstène, l'aluminium, le cuivre, l'or, l'argent, etc. La structure de ces éléments est constituée par l'association de ces mailles élémentaires pouvant former des cristaux cubiques contenant un très grand nombre d'atomes, dont chacune des six faces est un carré parfait.

• 
  Représentation de la structure cristalline du Polonium (Po): cristal cubique de 2x2x2 dont chacune des six faces est un carré parfait 2x2.
• 
  Bloc de roche contenant trois cristaux de pyrite (FeS₂). La structure cristalline de la pyrite est cubique, et les faces de ses cristaux cubiques sont des carrés parfaits.