Circuit quantique

En théorie de l'information quantique, un circuit quantique est un modèle pour le calcul quantique, similaire aux circuits classiques, dans lequel un calcul est une séquence de portes quantiques, de mesures, d'initialisations de qubits à des valeurs connues, et éventuellement d'autres actions. L'ensemble minimal d'actions qu'un circuit doit pouvoir effectuer sur les qubits pour permettre le calcul quantique est connu sous le nom de critère de DiVincenzo.

Circuit qui effectue la téléportation d'un qubit^[1]. Ce circuit se compose à la fois de portes quantiques et de mesures. La mesure est un phénomène quantique qui ne se produit pas dans les circuits informatiques classiques.

Les circuits sont écrits de telle sorte que l'axe horizontal est le temps, commençant à gauche et se terminant à droite. Les lignes horizontales sont des qubits, les lignes doublées représentent des bits classiques. Les éléments reliés par ces lignes sont des opérations effectuées sur les qubits, telles que des mesures ou des portes. Ces lignes définissent la séquence des événements et ne sont généralement pas des câbles physiques^[2],[3],[4].

La représentation graphique des éléments des circuits quantiques est décrite à l'aide d'une variante de la notation graphique de Penrose (en).

Richard Feynman a utilisé une première version de la notation des circuits quantiques en 1986^[5].

Portes logiques classiques réversibles

La plupart des portes logiques élémentaires d'un ordinateur classique ne sont pas réversibles. Ainsi, par exemple, pour une porte ET, on ne peut pas toujours retrouver les deux bits d'entrée à partir du bit de sortie ; par exemple, si le bit de sortie est 0, on ne peut pas savoir si les bits d'entrée sont 01, 10 ou 00.

Cependant, les portes réversibles des ordinateurs classiques sont facilement construites pour des chaînes de bits de n'importe quelle longueur ; en outre, elles présentent un intérêt pratique, car les portes non-réversibles doivent toujours augmenter l'entropie physique. Une porte réversible est une fonction réversible sur des données de n bits qui renvoie des données de n bits, où une donnée de n bits est une string de bits x₁,x₂, ...,x_n de longueur n. L'ensemble des données de n bits est l'espace {0,1}ⁿ, qui consiste en 2ⁿ chaînes de 0 et de 1.

Plus précisément, une porte réversible de n-bits est une correspondance bijective f de l'ensemble {0,1}ⁿ de données de n-bits sur elle-même.

Un exemple d'une telle porte réversible f est un mappage qui applique une permutation fixe à ses entrées. Pour des raisons d'ingénierie pratique, on n'étudie généralement les portes que pour de petites valeurs de n, par exemple n=1, n=2 ou n=3. Ces portes peuvent être facilement décrites par des tableaux.

Portes logiques quantiques

Les portes logiques quantiques sont des transformations unitaires réversibles sur au moins un qubit. Plusieurs qubits pris ensemble sont appelés registres quantiques. Pour définir les portes quantiques, nous devons d'abord spécifier le remplacement quantique d'une donnée de n bits. La "version quantifiée" de l'espace classique à n bits {0,1}ⁿ est l'espace de Hilbert.

${\displaystyle H_{\operatorname {QB} (n)}=\ell ^{2}(\{0,1\}^{n}).}$

Il s'agit par définition de l'espace des fonctions à valeurs complexes sur {0,1}ⁿ et c'est naturellement un Espace préhilbertien. ${\displaystyle \ell ^{2}}$ signifie que la fonction est une fonction carré sommable. Cet espace peut également être considéré comme constitué de combinaisons linéaires, ou de superposition, de chaînes de bits classiques. Notez que H_QB(n) est un espace vectoriel sur les nombres complexes de dimension 2ⁿ. Les éléments de cet espace vectoriel sont les vecteurs d'état possibles de n-qubit] registres quantiques.

En utilisant la notation de Dirac ket, si x₁,x₂, ...,x_n est une chaîne de bits classique, alors

${\displaystyle |x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle \quad }$

est un registre spécial de n-qubits correspondant à la fonction qui fait passer cette chaîne de bits classique à 1 et fait passer toutes les autres chaînes de bits à 0. Ces 2ⁿ registres spéciaux de n-qubits sont appelés états de base de calcul. Tous les registres de n-qubits sont des combinaisons linéaires complexes de ces états de base de calcul.

Les portes logiques quantiques, contrairement aux portes logiques classiques, sont toujours réversibles. Il faut un type spécial de fonction réversible, à savoir une cartographie unitaire, c'est-à-dire une transformation linéaire d'un espace de produit intérieur complexe qui préserve le produit intérieur hermitien. Une porte quantique (réversible) de n-qubit est un mapping unitaire U de l'espace H_QB(n) des registres de n-qubit sur lui-même.

Typiquement, nous ne sommes intéressés par les portes que pour de petites valeurs de n.

Une porte logique classique réversible de n-bits donne lieu à une porte quantique réversible de n-bits comme suit : à chaque porte logique réversible de n-bits f correspond une porte quantique W_f définie comme suit :

${\displaystyle W_{f}(|x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\rangle )=|f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})\rangle .}$

Notez que W_f permute les états de la base de calcul.

La porte NOT commandée (en) W_CNOT définie sur un qubit quantifié à 2 qubits est particulièrement importante. D'autres exemples de portes logiques quantiques dérivées de portes classiques sont la porte de Toffoli et la porte de Fredkin.

Cependant, la structure de l'espace de Hilbert des qubits permet de nombreuses portes quantiques qui ne sont pas induites par les portes classiques. Par exemple, un déphasage relatif est une porte à 1 qubit donnée par la multiplication par l'opérateur de déphasage :

${\displaystyle P(\varphi )={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i\varphi }\end{bmatrix}},}$

donc

${\displaystyle P(\varphi )|0\rangle =|0\rangle \quad P(\varphi )|1\rangle =e^{i\varphi }|1\rangle .}$

Circuits logiques réversibles

Encore une fois, nous considérons d'abord le calcul classique réversible. Conceptuellement, il n'y a pas de différence entre un circuit réversible de n bits et une porte logique réversible de n bits : l'un ou l'autre n'est qu'une fonction inversible sur l'espace des données de n bits. Toutefois, comme nous l'avons mentionné dans la section précédente, pour des raisons techniques, nous aimerions disposer d'un petit nombre de portes réversibles simples, qui peuvent être assemblées pour former n'importe quel circuit réversible.

Pour expliquer ce processus d'assemblage, supposons que nous ayons une porte réversible de n bits f et une porte réversible de m bits g. Les assembler signifie produire un nouveau circuit en connectant un ensemble de k sorties de f à un ensemble de k entrées de g comme dans la figure ci-dessous. Dans cette figure, n=5, k=3 et m=7. Le circuit résultant est également réversible et fonctionne sur les bits n+m−k.

Nous appellerons ce schéma un « assemblage classique » (ce concept correspond à une définition technique dans l'article pionnier de Kitaev cité ci-dessous). En composant ces machines réversibles, il est important de s'assurer que les machines intermédiaires sont également réversibles. Cette condition garantit que les « déchets » intermédiaires ne sont pas créés (l'effet physique net serait d'augmenter l'entropie, ce qui est l'une des motivations de cet exercice).

Notez que chaque ligne horizontale sur l'image ci-dessus représente soit 0, soit 1, et non ces probabilités. Étant donné que les calculs quantiques sont réversibles, à chaque « étape », le nombre de lignes doit être le même que le nombre de lignes d'entrée. De même, chaque combinaison d'entrée doit être mise en correspondance avec une seule combinaison à chaque « étape ». Cela signifie que chaque combinaison intermédiaire dans un circuit quantique est une fonction bijective de l'entrée^[6].

Il est maintenant possible de montrer que la porte de Toffoli est une porte universelle. Cela signifie qu'étant donné un circuit classique réversible de n bits h, nous pouvons construire un assemblage classique de portes de Toffoli de la manière décrite ci-dessus pour produire un circuit de (n+m)-bits f tel que

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n},\underbrace {0,\dots ,0} )=(y_{1},\ldots ,y_{n},\underbrace {0,\ldots ,0} )}$

où il y a m entrées réduites à zéro et

${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})=h(x_{1},\ldots ,x_{n})}$.

Remarquez que le résultat a toujours une chaîne de m zéros en tant que ancilla (en) bits. Aucun « déchet » n'est jamais produit, et ce calcul est donc bien un calcul qui, au sens physique, ne génère pas d'entropie. Cette question est soigneusement examinée dans l'article de Kitaev.

Plus généralement, toute fonction f (bijective ou non) peut être simulée par un circuit de portes de Toffoli. Évidemment, si la cartographie n'est pas injective, à un moment donné de la simulation (par exemple lors de la dernière étape), des "déchets" doivent être produits.

Pour les circuits quantiques, une composition similaire de portes de qubits peut être définie. C'est-à-dire qu'associé à n'importe quel « assemblage classique » comme ci-dessus, nous pouvons produire un circuit quantique réversible lorsqu'à la place de « f » nous avons une porte de qubit « n » « U » et à la place de « g » nous avons une porte de qubit « m » « W ». Voir l'illustration ci-dessous :

Le fait que la connexion des portes de cette manière donne lieu à une cartographie unitaire sur l'espace des qubits n+m−k est facile à vérifier. Dans un véritable ordinateur quantique, la connexion physique entre les portes est un défi technique majeur, car c'est l'un des endroits où la décohérence peut se produire.

Il existe également des théorèmes d'universalité pour certains ensembles de portes bien connus ; un tel théorème d'universalité existe, par exemple, pour la paire constituée de la porte de phase à un qubit U_θ mentionnée ci-dessus (pour une valeur appropriée de θ), ainsi que la porte CNOT à 2 qubits W_CNOT. Cependant, le théorème d'universalité pour le cas quantique est un peu plus faible que celui pour le cas classique ; il affirme seulement que tout circuit réversible de n qubits peut être approximé arbitrairement bien par des circuits assemblés à partir de ces deux portes élémentaires. Notez qu'il y a un ensemble infini non dénombrable de portes de phase possibles pour un seul qubit, une pour chaque angle θ possible, donc elles ne peuvent pas toutes être représentées par un circuit fini construit à partir de {U_θ, W_CNOT}.