Code CSS

Dans le cadre des codes correcteurs d'erreurs quantiques, les codes CSS, nommés ainsi d'après les initiales de leurs inventeurs Robert Calderbank, Peter Shor^[1] et Andrew Steane (en)^[2], sont un type particulier de code stabilisateur construit à partir de codes classiques avec quelques propriétés spéciales. Un exemple de code CSS est le code de Steane.

Construction

Soient ${\displaystyle C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{2}}$ deux codes classiques, de paramètres respectivement ${\displaystyle [n,k_{1}]}$, ${\displaystyle [n,k_{2}]}$, tels que ${\displaystyle C_{2}\subset C_{1}}$ et ${\displaystyle C_{1},C_{2}^{\perp }}$ ont tous deux une distance minimale ${\displaystyle \geq 2t+1}$, où ${\displaystyle C_{2}^{\perp }}$ est le code dual de ${\displaystyle C_{2}}$. On définit alors le code CSS de ${\displaystyle C_{1}}$ sur ${\displaystyle C_{2}}$, noté ${\displaystyle {\text{CSS}}(C_{1},C_{2})}$, comme suit : c'est le code de paramètres ${\displaystyle [n,k_{1}-k_{2},d]}$, avec ${\displaystyle d\geq 2t+1}$ :

${\displaystyle {\text{CSS}}(C_{1},C_{2})=\{{|}x+C_{2}\rangle \mid x\in C_{1}\}}$ ,

où, pour ${\displaystyle x\in C_{1}}$ , on définit :

${\displaystyle {|}x+C_{2}\rangle$ :=} ${\displaystyle 1/{\sqrt {{|}C_{2}{|}}}}$${\displaystyle \sum _{y\in C_{2}}{|}x+y\rangle }$,

et où ${\displaystyle +}$ est l'addition bit à bit modulo 2.