Conjecture de Duffin-Schaeffer

La conjecture de Duffin-Schaeffer est une conjecture (maintenant un théorème) en mathématiques, concernant l'approximation diophantienne proposée par R. J. Duffin et A. C. Schaeffer en 1941^[1]. Elle stipule que si ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ est une fonction à valeurs réelles prenant des valeurs positives, alors pour presque tout ${\displaystyle \alpha }$ (par rapport à la mesure de Lebesgue), l'inégalité

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}$

a une infinité de solutions en ${\displaystyle p,q}$ entiers premiers entre eux avec ${\displaystyle q>0}$ si et seulement si

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }f(q){\frac {\varphi (q)}{q}}=\infty ,}$

où ${\displaystyle \varphi (q)}$ est l'indicatrice d'Euler.

En 2019, la conjecture de Duffin-Schaeffer a été prouvée par Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard^[2].

Progrès

L'implication de l'existence des approximations rationnelles par la divergence de la série découle du lemme de Borel-Cantelli^[3]. La reciproque était le cœur de la conjecture^[4]. Il y a eu de nombreux résultats partiels de la conjecture de Duffin-Schaeffer : Paul Erdős a établi en 1970 que la conjecture est vraie s'il existe une constante ${\displaystyle c>0}$ tel que pour tout entier ${\displaystyle n}$ nous avons soit ${\displaystyle f(n)=c/n}$ ou ${\displaystyle f(n)=0}$^[4],[5]. Cela a été renforcé par Jeffrey Vaaler en 1978 pour le cas ${\displaystyle f(n)=O(n^{-1})}$^[6],[7].

En 2006, Beresnevich et Velani ont prouvé qu'une conjecture analogue pour la mesure de Hausdorff est équivalente à la conjecture originale de Duffin-Schaeffer, qui est a priori plus faible. Ce résultat est publié dans les Annals of Mathematics^[8].

En juillet 2019, Dimitris Koukoulopoulos et James Maynard ont annoncé une preuve de la conjecture^[9]. En juillet 2020, la preuve a été publiée dans les Annals of Mathematics^[10].

Problèmes connexes

Un analogue de dimension supérieure de cette conjecture a été résolu par Vaughan et Pollington en 1990^{[4],[11],[12]}.